Question

（2010?重慶模擬）如圖所示，一內(nèi)壁光滑的圓環(huán)形窄槽固定在水平桌面上，槽內(nèi)彼此間距相等的 A、B、C三位置處，分別有靜止的大小相同的彈性小球m₁、m₂、m₃，小球與槽壁剛好接觸．現(xiàn)讓m₁以初速度v₀沿槽順時(shí)針運(yùn)動(dòng)．已知三球的質(zhì)量分別為m₁=m、m₂=m₃=2m，小球球心到圓環(huán)中心的距離為R．設(shè)各球之間的碰撞時(shí)間極短，碰撞中沒有能量損失．求：
（1）m₁和m₂相碰后各自的速度大��；
（2）m_3和m₁第一次碰撞的位置；
（3）m₁和m₂第一次相碰后；再經(jīng)過多長時(shí)間，m₁和 m₂第二次相碰？

Answer 1

分析：（1）A和B相碰時(shí)沒有機(jī)械能損失，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能兩大守恒，分別列出兩大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大��；
（2）因?yàn)閙₂=m₃=2m，與第（1）問同理可得，m₂運(yùn)動(dòng)到C處與m₃碰后，兩者交換速度，再根據(jù)位移關(guān)系求解相碰的位置；
（3）m₃與m₁碰撞過程滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能兩大守恒，分別列出兩大守恒定律的方程，求出m₃與m₁相碰后各自的速度大小，再根據(jù)時(shí)間等于弧長除以速度求解．

解答：解：（1）由題知碰撞過程動(dòng)量守恒，動(dòng)能守恒m₁與m₂碰撞過程滿足
mv₀=mv₁+2mv₂

1

2

mv₀²=

1

2

mv₁²+

1

2

×2mv₂²
得v₁=-

v0

3

（負(fù)號(hào)表示逆時(shí)針返回），v₂=

2v0

3

（2）因?yàn)閙₂=m₃=2m，與第（1）問同理可得，m₂運(yùn)動(dòng)到C處與m₃碰后，兩者交換速度，
即v₂′=0，v₃=

2v0

3

=v₂
所以m₃以

2v0

3

的速度順時(shí)針由C向A運(yùn)動(dòng)，與m₁逆時(shí)針返回．
因?yàn)関₂=v₃=2v₁，l_BC+l_CA=2l_AB
所以m₃和m₁同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)并進(jìn)行碰撞．
（3）m₃與m₁碰撞過程滿足
2m

2v0

3

-m

v0

3

=mv₁′+2mv₃′

1

2

×2m（

2v0

3

）²+

1

2

m（

v0

3

）²=

1

2

mv₁′²+

1

2

×2mv₃′，
解之得v₁′=v₀
v₃′=0
（另一組解v₁′=-

1

3

v₀，v₃′=

2v0

3

，這表示互相穿過去，不可能，所以舍去）即碰后m₃停止，m₁以v₀再次順時(shí)針運(yùn)動(dòng)．
m₁和m₂第一次相碰后，返回A點(diǎn)的時(shí)間
t1=

2πR 3

v0 3

=

2πR

v0

m₁與m₃在A處碰后，m₁以v₀返回到C的時(shí)間t₂=2×

2× 2πR 3

v0

=

4πR

3v0

從m₁和m₂第一次相碰，到m₁和m₂第二次相碰經(jīng)歷的總時(shí)間t=t₁+t₂=

10πR

3v0

答：（1）碰后m₁的速度為反向的

1

3

v₀，m₂的速度為

2

3

v₀；
（2）m₁和m₃第一次相碰點(diǎn)在A點(diǎn)；
（3）m₁和m₂第一次相碰后再經(jīng)過

10πR

3v0

時(shí)間，m₁和 m₂第二次相碰．

點(diǎn)評(píng)：本題中AB發(fā)生的是彈性碰撞，沒有機(jī)械能損失，遵守運(yùn)量守恒和動(dòng)能守恒．此題中還涉及相遇問題，根據(jù)位移關(guān)系研究時(shí)間，是常用的方法．