Question

13．如圖所示，AB為進入彎道前的一段平直公路，其長度x_AB=218m，BC為水平圓弧形彎道．摩托車在直道上行駛的最大速度v₁=40m/s，為確保彎道行車安全，摩托車進入彎道前必須減速，到達B點進入彎道時速度v₂不能超過20m/s，要求摩托車由靜止開始在最短的時間內(nèi)走完AB這段直道，已知摩托車啟動時最大加速度a₁=4m/s²，制動時最大加速度a₂=8m/s²．試根據(jù)上述數(shù)據(jù)求摩托車在直道上行駛所用的最短時間．

Answer 1

分析 通過摩托車先勻加速到最大速度40m/s，在勻減速到20m/s經(jīng)歷的位移，得出總位移超過直道的長度，知摩托車不能達到最大速度40m/s．結(jié)合速度位移公式，抓住位移之和等于218m求出摩托車的最大速度，從而結(jié)合速度時間公式求出在直道所需的最短時間．

解答 解：摩托車由靜止開始加速到直道直道最大速度${v}_{1}^{\;}$，則有${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{40}{4}s=10s$
這段時間內(nèi)的位移為：${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=200m$
然后減速到20m/s所需的時間${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=2.5s$
這段時間內(nèi)的位移為：${s}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}（{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}）{t}_{2}^{\;}=75m$
則${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}=275m＞218m$，說明汽車不能加速到40m/s
設(shè)摩托車加速的最大速度為${v}_{m}^{\;}$，則加速階段的位移為：${s}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$
隨后減速到${v}_{2}^{\;}$發(fā)生的位移為：${s}_{m}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}^{\;}}$
且${s}_{1}^{\;}+{s}_{2}^{\;}=s$
代入數(shù)據(jù)解得：${v}_{m}^{\;}=36m/s$
所以，${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}=9s$
${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{m}^{\;}-{v}_{2}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=2s$
摩托車在直道上行駛所用的最短時間為：t=t₁+t₂=11s．
答：摩托車在直道上行駛所用的最短時間為11s．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道摩托車先加速某一速度，在減速到20m/s，所用時間最短，結(jié)合速度位移公式和速度時間公式進行求解．