Question

一傳送帶裝置示意圖，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時(shí)是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時(shí)變?yōu)閳A弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經(jīng)過CD區(qū)域時(shí)是傾斜的，AB和CD都與BC相切．現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速度為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)．每個(gè)箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(dòng)（忽略經(jīng)BC段的微小滑動(dòng)）．已知在一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間T內(nèi)，共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目N個(gè)．這裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦．求電動(dòng)機(jī)的平均功率

.

P

．

Answer 1

以地面為參考系（下同），設(shè)傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度為v₀，在水平段運(yùn)輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其末速度等于傳送帶的速度，設(shè)這段時(shí)間內(nèi)小貨箱通過的位移為s，所用的時(shí)間為t，加速度為a，則對(duì)小貨箱有
s=

1

2

at² ①
v₀=at ②
在這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程為
s₀=v₀t③
由以上各式得
s₀=2s④
用f表示小貨箱與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦力，則傳送帶對(duì)小貨箱做功為
W₁=fs=

1

2

mV02⑤
傳送帶克服小箱對(duì)它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×

1

2

mV02⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量
Q=

1

2

mV02 ⑦
可見，在小貨箱加速運(yùn)動(dòng)過程中，小貨箱獲得的動(dòng)能與系統(tǒng)因相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱量相等．
T時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)機(jī)輸出的功為
W=

.

P

T ⑧
此功用于增加小貨箱的動(dòng)能、重力勢(shì)能以及克服摩擦力產(chǎn)生熱量，即
W=

1

2

NmV02+Nmgh+NQ ⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L(zhǎng)，所以在T時(shí)間內(nèi)運(yùn)送的小貨箱的個(gè)數(shù)N，
則V₀T=NL 　 ⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，得

.

P

=

Nm

T

[

N2L2

T2

+gh]．