Question

蕩秋千是一項(xiàng)古老的運(yùn)動(dòng)，設(shè)某人的質(zhì)量為m，身高為H，站立時(shí)重心離腳底H/2，蹲下時(shí)重心離腳底H/4，繩子懸掛點(diǎn)到踏板的繩長為6H，繩子足夠柔軟且不可伸長，繩子和踏板的質(zhì)量不計(jì)，人身體始終與繩子保持平行，重力加速度為g．
（1）若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₀弧度，由靜止釋放，忽略空氣阻力，求擺至最低點(diǎn)時(shí)繩中的拉力大��；
（2）若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₁弧度，由靜止釋放，擺至另一側(cè)最大擺角為θ₂弧度，設(shè)空氣阻力大小恒定，作用點(diǎn)距離腳底為H/3，求空氣阻力的大小．
（3）若該人在踏板上采取如下步驟：當(dāng)蕩至最高處時(shí)，突然由蹲式迅速站起，而后緩緩蹲下，擺至另一側(cè)最高處時(shí)已是蹲式，在該處又迅速站起，之后不斷往復(fù)，可以蕩起很高．記此法可以蕩起的最大擺角為θ_m 弧度，假設(shè)人的“緩緩蹲下”這個(gè)動(dòng)作不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械能的損耗，而且空氣阻力大小和作用點(diǎn)與第（2）問相同，試證明：

θm

cosθm

=

θ1+θ2

44(cosθ2-cosθ1)

．

Answer 1

分析：（1）人在擺動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求最低點(diǎn)速度，再根據(jù)重力和拉力的合力提供向心力列式求拉力；
（2）先計(jì)算出人從一側(cè)最高點(diǎn)到另一側(cè)最高點(diǎn)過程中機(jī)械能的減小量，然后根據(jù)大小恒定的變力做功的表達(dá)式W=FS計(jì)算出克服阻力做功等于阻力與路程的乘積；
（3）對(duì)人運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的過程進(jìn)行分析，克服阻力做功等于阻力與路程的乘積，人做功補(bǔ)償?shù)臋C(jī)械能等于人站起而使重力勢(shì)能增加的量，列方程求解．

解答：解：（1）設(shè)蕩至最低點(diǎn)時(shí)速度為v，則由機(jī)械能守恒定律有

1

2

mv2=mg(6H-

H

2

)(1-cosθ0)
設(shè)拉力為F，則由牛頓第二定律
F-mg=m

v2

6H- H 2

求得F=3mg-2cosθ₀
即擺至最低點(diǎn)時(shí)繩中的拉力大小3mg-2cosθ₀．
（2）全程損耗的機(jī)械能為
△E機(jī)=mg(6H-

H

2

)(cosθ2-cosθ1)
空氣阻力做的功為
Wf=-f(6H-

H

3

)(θ1+θ2)
由功能關(guān)系有W_f=△E_機(jī)
求得f=

33(cosθ1-cosθ2)

34(θ1+θ2)

mg
即空氣阻力的大小為

33(cosθ1-cosθ2)

34(θ1+θ2)

mg．
（3）在一個(gè)周期內(nèi)，通過“迅速站起”獲得的機(jī)械能（重力勢(shì)能）是△E機(jī)=2mg(

H

2

-

H

4

)cosθ m
空氣阻力做的功是Wf=-4f(6H-

H

3

)θm
由功能關(guān)系有W_f=△E_機(jī)
求得

θm

cosθm

=

θ1+θ2

44(cosθ2-cosθ1)

，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是根據(jù)功能關(guān)系列方程求解，要注意阻力做的功等于阻力與路程的乘積．