Question

蕩秋千是一項(xiàng)古老的運(yùn)動(dòng)，秋千是一塊板用兩根繩系在兩個(gè)固定的懸點(diǎn)組成，設(shè)某人的質(zhì)量為m，身高為H，站立時(shí)重心離腳底H/2，蹲下時(shí)重心離腳底H/4，繩子懸掛點(diǎn)到踏板的繩長(zhǎng)為6H，繩子足夠柔軟且不可伸長(zhǎng)，繩子和踏板的質(zhì)量不計(jì)，人身體始終與繩子保持平行，重力加速度為g。

1.若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₀（單位：rad），由靜止釋放，忽略空氣阻力，求擺至最低點(diǎn)時(shí)每根繩的拉力大小；

2.若該人在踏板上保持站式，由伙伴將其推至擺角θ₁ （單位：rad），由靜止釋放，擺至另一側(cè)最大擺角為θ₂（單位：rad），設(shè)空氣阻力大小恒定，作用點(diǎn)距離腳底為H/3，求空氣阻力的大小。

3.若該人在踏板上采取如下步驟：當(dāng)蕩至最高處時(shí)，突然由蹲式迅速站起，而后緩緩蹲下，擺至另一側(cè)最高處時(shí)已是蹲式，在該處又迅速站起，之后不斷往復(fù)，可以蕩起很高。用此法可以蕩起的最大擺角為θm 弧度，假設(shè)人的“緩緩蹲下”這個(gè)動(dòng)作不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)機(jī)械能的損耗，而且空氣阻力大小和作用點(diǎn)與第（2）問(wèn)相同，試證明：。

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.

2.

3.見(jiàn)解析

【解析】（1）設(shè)蕩至最低點(diǎn)時(shí)速度為v，則由機(jī)械能守恒定律有  設(shè)拉力為F，則由牛頓第二定律               

求得          

每根繩的拉力               

（2）全程損耗的機(jī)械能為                 空氣阻力做的功為                         

由功能關(guān)系有                                  

求得                          

（3）在一個(gè)周期內(nèi)，通過(guò)“迅速站起”獲得的機(jī)械能（重力勢(shì)能）是

空氣阻力做的功是                           

由功能關(guān)系有                                     

求得        ，得證。