Question

【題目】如圖所示為xOy平面直角坐標(biāo)系，在x=a處有一平行于y軸的直線MN，在x=4a處放置一平行于y軸的熒光屏，熒光屏與x軸交點(diǎn)為Q，在第一象限內(nèi)直線MN與熒光屏之間存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。原點(diǎn)O處放置一帶電粒子發(fā)射裝置，它可以連續(xù)不斷地發(fā)射同種初速度大小為v0的帶正電粒子，調(diào)節(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)處的帶電粒子發(fā)射裝置，使其在xOy平面內(nèi)沿不同方向?qū)�帶電粒子射入第一象限（速度與x軸正方向間的夾角為0≤θ≤）。若在第一象限內(nèi)直線MN的左側(cè)加一垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，這些帶電粒子穿過(guò)該磁場(chǎng)后都能垂直進(jìn)入電場(chǎng)。已知?jiǎng)驈?qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，帶電粒子的比荷，電場(chǎng)強(qiáng)度大小E=Bv0，不計(jì)帶電粒子重力，求：

(1)粒子從發(fā)射到到達(dá)熒光屏的最長(zhǎng)時(shí)間。

(2)符合條件的磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

(3)粒子打到熒光屏上距Q點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離。

Answer 1

【答案】(1)；(2) ()a2；(3)a。

【解析】

(1)

由題意知，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度沿y軸正方向的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，此時(shí)粒子軌跡為圓，由圓周運(yùn)動(dòng)知

解得

則此時(shí)最長(zhǎng)時(shí)間為

粒子進(jìn)入電場(chǎng)到到達(dá)熒光屏，在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

故粒子從發(fā)射到到達(dá)熒光屏的最長(zhǎng)時(shí)間

(2)帶電粒子在磁場(chǎng)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

解得

由于帶電粒子的入射方向不同，若磁場(chǎng)充滿紙面，它們所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示.為使這些帶電粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都能垂直直線MN進(jìn)入電場(chǎng)，由圖可知，它們必須從經(jīng)O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的各圓的最高點(diǎn)飛離磁場(chǎng).設(shè)磁場(chǎng)邊界上P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則應(yīng)滿足方程

所以磁場(chǎng)邊界的方程為

以的角度射入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡即為所求磁場(chǎng)另一側(cè)的邊界，因此，符合題目要求的最小磁場(chǎng)的范圍應(yīng)是圓與圓的交集部分（圖中陰影部分），由幾何關(guān)系，可以求得符合條件的磁場(chǎng)的最小面積為

(3)

帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，分析可知所有粒子在熒光屏左側(cè)穿出電場(chǎng)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，豎直方向的位移為y，水平方向的位移為l，則

聯(lián)立解得

設(shè)粒子最終打在熒光屏的最遠(yuǎn)點(diǎn)距Q點(diǎn)為h，粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度與x軸的夾角為α，則有

則當(dāng)

時(shí)，即時(shí)，h有最大值。