Question

15．一宇航員乘坐自動(dòng)航天飛行器到達(dá)一類似地球的星球表面進(jìn)行科學(xué)考察，科考任務(wù)結(jié)束后，他將星球的自轉(zhuǎn)周期為18小時(shí)、同一物塊在星球兩極時(shí)的重力為在星球赤道時(shí)重力的$\frac{27}{26}$倍的兩個(gè)數(shù)據(jù)星球輸入飛行器的航程自動(dòng)儀中．飛行器自動(dòng)生成運(yùn)行軌道，并按此軌道由星球表面P點(diǎn)返回到同步軌道．其中P點(diǎn)和Q點(diǎn)為切點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)飛行器從橢圓軌道上的P點(diǎn)到Q點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 在星球的兩極時(shí)重力等于萬(wàn)有引力．在星球的赤道，物體的重力等于萬(wàn)有引力與向心力之差．同步衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，由這三個(gè)關(guān)系分別列式，求同步衛(wèi)星的軌道半徑與星球半徑的關(guān)系，再由開(kāi)普勒第三定律求出飛行器運(yùn)動(dòng)的周期，即可得到所求時(shí)間．

解答 解：設(shè)該星球的半徑為R，質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的周期為T(mén)，軌道半徑為r，飛行器的周期為T(mén)′．
在星球的兩極有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
在星球的赤道有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′+m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
據(jù)題有 mg′=$\frac{26}{27}$mg
聯(lián)立以上三式得：$\frac{1}{27}$•G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
對(duì)于同步衛(wèi)星有：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
聯(lián)立以上二式解得 r=3R
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得 $\frac{（\frac{R+r}{2}）^{3}}{{r}^{3}}$=$\frac{T{′}^{2}}{{T}^{2}}$
可得 T′=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$T=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$×18h=4$\sqrt{6}$h
故飛行器從橢圓軌道上的P點(diǎn)到Q點(diǎn)需要的時(shí)間為 t=$\frac{T′}{2}$=2$\sqrt{6}$h
答：飛行器從橢圓軌道上的P點(diǎn)到Q點(diǎn)需要的時(shí)間為2$\sqrt{6}$h．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要之處是根據(jù)重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系、萬(wàn)有引力與向心力的關(guān)系求同步衛(wèi)星的軌道半徑，明確飛行器由P點(diǎn)到Q點(diǎn)所需的時(shí)間應(yīng)是橢圓運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期．