Question

【題目】物體沿著圓周的運(yùn)動(dòng)是一種常見的運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是當(dāng)中最簡(jiǎn)單也是較基本的一種，由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向時(shí)刻在變化，因而勻速周運(yùn)動(dòng)仍舊是一種變速運(yùn)動(dòng)，具有加速度。

(1)可按如下模型來研究做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r、圓心為O的圓周以恒定大小的速度v運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于位置A。經(jīng)極短時(shí)間后運(yùn)動(dòng)到位置B，如圖所示，試根據(jù)加速度的定義，推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在位置A時(shí)的加速度的大小；

(2)在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的“位移”時(shí)，我們常舊“以恒代變"的思想；在研究曲線運(yùn)動(dòng)的“瞬時(shí)速度”時(shí)，又常用“化曲為直”的思想，而在研究一般的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)我們用的更多的是一種”化曲為圓”的思想，即對(duì)于般的曲線運(yùn)動(dòng)，盡管曲線各個(gè)位置的彎曲程度不詳，但在研究時(shí)，可以將曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點(diǎn)在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看做半徑為某個(gè)合適值的圓周運(yùn)動(dòng)的部分，進(jìn)而采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法來進(jìn)行研究，叫做曲率半徑，如圖所示，試據(jù)此分析圖所示的斜拋運(yùn)動(dòng)中。軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑；

(3)事實(shí)上，對(duì)于涉及曲線運(yùn)動(dòng)加速度問題的研究中，“化曲為圓”并不是唯的方式，我們還可以采用一種“化圓為拋物線”的思考方式，勻速圓周運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間內(nèi)可以看成切線方向的勻速運(yùn)動(dòng)，法線方向的勻變速運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓弧半徑為R，質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，據(jù)此推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度a。

Answer 1

【答案】(1)或；(2)；(3)

【解析】

(1)當(dāng)足夠小時(shí)，、的夾角就足夠小，角所對(duì)的弦和弧的長(zhǎng)度就近似相等。因此，

在時(shí)間內(nèi)，所對(duì)方向變化的角度為

聯(lián)立可得

代入加速度定義式，以及把代入，可得向心加速度大小的表達(dá)式為

上式也可以寫為

(2)在斜拋運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的速度為

可以把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)看成是半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)只受重力，所以根據(jù)牛頓第二定律可得

聯(lián)立可得

(3)質(zhì)點(diǎn)在短時(shí)間內(nèi)將從A以速度v勻速運(yùn)動(dòng)到，則

，

由圖可知

聯(lián)立解得

若足夠小，即

所以