Question

（10分）如圖所示，遙控電動(dòng)賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定在豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，通過軌道最高點(diǎn)P后又進(jìn)入水平軌道CD上。已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到阻力恒為車重的0.5倍，即k=F_f/mg=0.5，賽車的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=2W工作，軌道AB的長(zhǎng)度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²。某次比賽，要求賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短。在此條件下，求：

（1）小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程

（2）賽車電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間

Answer 1

（10分）解：

（1）要求賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的路程最短，則小車經(jīng)過圓軌道P點(diǎn)時(shí)速度最小，此時(shí)賽車對(duì)軌道的壓力為零，重力提供向心力：

                                                     （1分）

C點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒定律可得：

                                       

由上述兩式聯(lián)立，代入數(shù)據(jù)可得：v_C=5m/s                          （2分）

設(shè)小車在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的最短路程為x，由動(dòng)能定理可得：

                                             （2分）

代入數(shù)據(jù)可得：x =2.5m                                           （1分）

（2）由于豎直圓軌道光滑，由機(jī)械能守恒定律可知：v_B = v_C =5m/s      （1分）

從A點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，由動(dòng)能定理可得：

                                             （2分）

代入數(shù)據(jù)可得：t = 4.5s                                           （1分）