Question

如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時A板比B板的電勢高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點O以平行于金屬板方向OO′的速度v0=

3 qU0T

3dm

射入，所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力影響．
（1）求粒子打出電場時位置離O′點的距離范圍
（2）求粒子飛出電場時的速度
（3）若要使打出電場的粒子經(jīng)某一圓形區(qū)域的勻強磁場偏轉(zhuǎn)后都能通過圓形磁場邊界的一個點處，而便于再收集，則磁場區(qū)域的最小直徑和相應(yīng)的磁感應(yīng)強度是多大？

Answer 1

分析：（1）粒子在t=0、T、2T…時刻進入時，O′位置偏向最下端；粒子在t=

2

3

T、

2

3

T+T、

2

3

T+2T…時刻進入時，O′位置偏向最上端，根據(jù)運動學(xué)公式列式求解即可．
（2）將粒子的運動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運動，在垂直于初速度方向，粒子在電場力的作用下做變速直線運動，求出兩個方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（3）要使粒子偏轉(zhuǎn)后交于一點，只需磁場的半徑等于粒子圓周運動的半徑即可．

解答：解：（1）當(dāng)粒子由t=nT時刻進入電場，向下側(cè)移最大；
S₁=

qu0T

2dm

?(

2T

3

)2+

qu0

dm

?(

2T

3

)?

T

3

-

qu0

2dm

?(

T

3

)2=

7qu0T2

18dm

當(dāng)粒子由t=nT+

2T

3

時刻進入電場，向上側(cè)移最大；
S₂=

qu0

2dm

?(

T

3

)2=

qu0T2

18dm

在距離O′中點下方

7qu0T2

18dm

至上方

qu0T2

18dm

范圍內(nèi)有粒子打出．
（2）打出粒子的水平分速度都是相同的，在沿電場線方向速度大�。簐_y=

u0q

dm

?

T

3

=

u0qT

3dm

，
所以打出速度大小：v=

v 2 0 + v 2 y

=

( 3 u0qT 3dm )2+( u0qT 3dm )2

=

2u0qT

3dm

方向：tanθ=

vy

v0

=

3

3

，θ=30°
（3）要使平行粒子能夠交于圓形磁場區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時，磁場直徑最小值與粒子寬度相等，粒子寬度D=

4qu0T2

9dm

?cos300=

2 3 qu0T2

9dm

，
粒子在磁場中作圓周運動有Bqv=m

v2

D 2

，解得：
B=

2 3 m

qT

，方向垂直紙面．
答：（1）在距離O′中點下方

7qu0T2

18dm

至上方

qu0T2

18dm

范圍內(nèi)有粒子打出；
（2）打出速度大小為

2u0qT

3dm

，方向與水平成θ=30°斜向下；
（3）磁場區(qū)域的最小直徑為

2 3 qu0T2

9dm

，相應(yīng)的磁感應(yīng)強度是

2 3 m

qT

，方向垂直紙面．

點評：本題關(guān)鍵將粒子的運動沿著平行于初速度方向和垂直于初速度方向進行正交分解，然后根據(jù)運動學(xué)公式列式求解；第三問較難，關(guān)鍵是幾何關(guān)系的理解．