Question

如圖所示，在0≤x≤a，0≤y≤2a范圍內(nèi)有垂直于xy平面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，在a＜x≤2a，0≤y≤2a范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向夾角分布在0-90°范圍內(nèi)，已知從（0，2a）處射出的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一．不計(jì)粒子重力及粒子之間相互作用，求：
（1）粒子進(jìn)入磁場中的速度大��？
（2）沿x軸正方向入射的粒子和最后離開磁場的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差為多少？

Answer 1

分析：（1）由題意畫出能從（0，2a）處射出的粒子的軌跡圖，由幾何關(guān)系可得出運(yùn)動(dòng)半徑，由半徑公式可求出粒子進(jìn)入磁場的速度大�。�
（2）根據(jù)邊界，畫出這兩種粒子的軌跡圖，利用幾何關(guān)系求出這兩種粒子在兩個(gè)區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角，分別求出兩種粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求出時(shí)間差．

解答：解：
（1）根據(jù)題意可知，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖一所示，
由幾何關(guān)系可知rcos

π

4

=a
得：r=

2

a
又因：qv0B=

mv2

r

聯(lián)立得：v0=

2 qBa

m

（2）由T=

2πr

v0

的粒子偏轉(zhuǎn)周期T=

2πm

qB

沿x軸正方向入射的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖二中的圓弧1，可得：
rcosθ=a
故θ=

π

4

該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=2×

1

8

T
由于粒子的偏轉(zhuǎn)半徑一定，故在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的帶電粒子軌跡所對應(yīng)的弦長最大，可知從P點(diǎn)射出的帶電粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最大．
如圖二中的弧線2可得2rsin

α

2

=

2

a，
得：α=

π

3

該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t2=2×

1

6

T
所求時(shí)間間隔為：
△t=t₂-t₁
得：△t=

T

12

即△t=

πm

6q

．
答：（1）粒子進(jìn)入磁場中的速度大小為

2 qBa

m

；
    （2）沿x軸正方向入射的粒子和最后離開磁場的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之差為

πm

6q

．

點(diǎn)評：該題考查了磁場邊界問題，不同磁場的分界面上，是一種運(yùn)動(dòng)的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動(dòng)的開始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．當(dāng)然本題還涉及臨界問題，尋找臨界點(diǎn)的有效方法有軌跡圓的縮放和軌跡圓的旋轉(zhuǎn)．
點(diǎn)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場和射出磁場的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長的交點(diǎn)即為圓心．或射入磁場和射出磁場的兩點(diǎn)間弦的垂直平分線與一半徑的交點(diǎn)即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計(jì)算出粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360

T可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
再者就是要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．