Question

【題目】如圖 1 所示，一根輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端掛一小球（可視 為質(zhì)點(diǎn)），彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)小球位于 O 點(diǎn)。將小球從 O 點(diǎn)由靜止釋放，小球沿豎直方向在OP 之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖 2 所示。小球運(yùn)動(dòng)過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。不計(jì)空氣 阻力，重力加速度為 g。

（1）在小球運(yùn)動(dòng)的過程中，經(jīng)過某一位置 A 時(shí)動(dòng)能為 Ek1，重力勢(shì)能為 EP1，彈簧彈 性勢(shì)能為 E 彈 1，經(jīng)過另一位置 B 時(shí)動(dòng)能為 Ek2，重力勢(shì)能為 EP2，彈簧彈性勢(shì)能為 E 彈 2。 請(qǐng)理論探究彈簧、 小球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒；

（2）已知彈簧勁度系數(shù)為 k。以 O 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為 x 軸正方向，建立一 維坐標(biāo)系 O-x，如圖 2 所示。 a．請(qǐng)?jiān)趫D 3 中畫出小球從 O 運(yùn)動(dòng)到 P 的過程中，彈簧彈力的大小 F 隨相對(duì)于 O 點(diǎn)的 位移 x 變化的圖象。 根據(jù) F-x 圖象求出小球從 O 運(yùn)動(dòng)到任意位置 x 的過程中彈簧彈力所做的功 W，以及小 球在位置 x 時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能 E 彈； b．已知小球質(zhì)量為 m，求小球經(jīng)過 OP 中點(diǎn)時(shí)瞬時(shí)速度的大小 v。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a．kx2 b．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)重力做的功為WG，彈力做的功為W彈

根據(jù)動(dòng)能定理得 WG+W彈=Ek2-Ek1

由重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系 WG=Ep1-Ep2

由彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系 W彈=E彈1-E彈2

聯(lián)立以上三式可得 Ek1+Ep1+E彈1=Ek2+Ep2+E彈2；

（2）a．F-x圖象如圖所示

圖中的圖線和x軸圍成的面積表示功的大小

所以彈力做功為 W=-kx2

由彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系 W彈=0-E彈

解得 E彈=kx2

b．小球由O點(diǎn)到OP中點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得： mgx-kx2=mv2-0

小球由O點(diǎn)到P點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得： mg2x=k（2x）2

解得