Question

在真空中速度為v=6.4×10⁷m/s的電子束連續(xù)射入兩平行板間，如圖所示，極板長度L=8.0×10^-2m間距d=5.0×10^-2m，兩極板不帶電時(shí)，電子將沿極板間的中線通過，在極板上加一個(gè)50Hz的交變電壓u=U₀sinωt，如果所加電壓的最大值U₀超過某值UC時(shí)，電子束將有時(shí)能通過兩極板，有時(shí)間斷而不能通過（電子電荷量e=1.6×10^-19C，電子質(zhì)量m=9.1×10^-31kg）．求：
（1）U_c的大小為多少；
（2）求U₀為何值時(shí)，才能使通過與間斷的時(shí)間之比△t₁：△t₂=2：1．

Answer 1

分析：（1）電子飛出電場的時(shí)間t=

L

v

=1.25×10^-9s，交變電壓的周期T=0.02s，t遠(yuǎn)小于T，可近似認(rèn)為一個(gè)電子在兩板間運(yùn)動(dòng)期間，電場來不及發(fā)生變化，因此就一個(gè)電子來說，它相當(dāng)于穿過一個(gè)恒定的電場．建立了這樣的理想化模型：某個(gè)電子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)．當(dāng)電子恰好從飛出電場時(shí)，偏轉(zhuǎn)距離等于

d

2

，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出U_c的大��；
（2）使電子通過的時(shí)間t₁跟間斷的時(shí)間t₂之比為t₁：t₂=2：1，對于按正弦規(guī)律變化的交變電壓可由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合畫圖得到，電壓大于U_C的時(shí)間為

1

6

周期才能滿足條件，由數(shù)學(xué)知識(shí)求出U₀．

解答：解：（1）電子沿平行板的方向做勻速運(yùn)動(dòng)，通過平行板的時(shí)間t=

L

v

=

8.0×10-2

6.4×107

s=1.25×10^-9s，交變電流的周期T=10^-2s，由于t≤T，可認(rèn)為電子在通過平行板時(shí)板間的電壓和場強(qiáng)是穩(wěn)定不變的，每個(gè)能通過平行板的電子均做類平拋運(yùn)動(dòng)．
水平方向勻速運(yùn)動(dòng)  L=vt
豎直方向勻加速運(yùn)動(dòng)  a=

F

m

=

eU0

md

電子束不能通過平行板時(shí)有  y=

1

2

at2≥

d

2

由以上三式得：U₀≥

mv2d2

eL2

=91V；
（2）對于按正弦規(guī)律變化的交變電壓可由數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合畫圖得到，電壓大于U₀的時(shí)間為六分之一周期才能滿足條件，即U₀=U_maxsinωt=U_maxsin

π

3

．
所以U_max=

U0

sin π 3

≈105V
答：
（1）U_c的大小為91V；
（2）U₀為105V時(shí)，才能使通過與間斷的時(shí)間之比△t₁：△t₂=2：1．

點(diǎn)評：本題考查挖掘理想化條件構(gòu)建物理模型的能力，不要被交變電壓迷惑，本題實(shí)質(zhì)上與是帶電粒子在恒定電場中運(yùn)動(dòng)一樣，是類平拋運(yùn)動(dòng)的類型，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法處理．第（2）問還考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．