Question

3．如圖所示，豎直平面內(nèi)有無限長、不計電阻的兩組平行光滑金屬導(dǎo)軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度B=2T的勻強磁場．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導(dǎo)軌上，金屬桿與導(dǎo)軌等寬且與導(dǎo)軌接觸良好，電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿1固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內(nèi)），金屬桿2從磁場邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進入磁場后恰做勻速運動（g取10m/s²）．
（1）金屬桿的質(zhì)量m為多大？
（2）若金屬桿2從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進入磁場經(jīng)過一段時間后開始勻速運動，此過程中電阻R產(chǎn)生的熱量為0.7J，求在此過程中通過金屬棒橫截面的電荷量為多少？
（3）金屬桿2仍然從離磁場邊界h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進入磁場的同時由靜止釋放金屬桿1，兩金屬桿運動了一段時間后均達到穩(wěn)定狀態(tài)，試求兩根金屬桿各自的最大速度．

Answer 1

分析 （1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，由運動學(xué)公式求出進入磁場時的速度v，進入磁場后做勻速運動，重力與安培力平衡，E=BLv，I=$\frac{E}{R+2r}$、F=BIL，及平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進入磁場經(jīng)過一段時間后開始勻速運動，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，q=$\overline{I}$•t₂求出電量q．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關(guān)系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度

解答 解：（1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動
由${v}_{m}^{2}$=2gh₀得金屬桿2進入磁場時的速度v_m=$\sqrt{2gh0}$=4 m/s；
金屬桿2進入磁場后受力平衡：mg=BIL 
且E=BLv_m，I=$\frac{E}{2r+R}$  
解得：$m=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{（2r+R）g}$=$\frac{{2}^{2}×0．{5}^{2}×4}{2×0.5+1}$=0.2kg  
（2）設(shè)金屬桿2剛進入磁場時的速度為v
v²=2gh₁
解得v=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=2 m/s   
金屬桿2進入磁場到勻速運動的過程中，設(shè)金屬桿2在磁場內(nèi)下降h₂．
此過程中，電阻R、金屬桿1和金屬桿2串聯(lián)，電流相等．故回路中產(chǎn)生的熱量：Q=$\frac{2r+R}{R}{Q}_{R}$=1.4J  
由能量守恒定律有：$mg（{h}_{1}+{h}_{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q 
解得h₂=1.3m   
又$\overline{E}$=$\frac{BL{h}_{2}}{{t}_{2}}$，
因電磁感應(yīng)定律，$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+2r}$，
且q=$\overline{I}t$
得：$q=\frac{BL{h}_{2}}{R+2r}$=$\frac{2×0.5×1.3}{1+2×0.5}$=0.65C
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速，合力等于零時速度最大，設(shè)金屬桿1、2的最大速度分別為v₁、v₂，有
mg=BIL，且I=$\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{R+2r}$，E₁=BLv₁，E₂=BLv₂
整理得到：v₁+v₂=$\frac{mg（R+2r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
代入數(shù)據(jù)得：v₁+v₂=4 m/s     
因為兩個金屬桿任何時刻受力情況都相同，因此任何時刻兩者的加速度也都相同，在相同時間內(nèi)速度的增量也必相同，即：
v₁-0=v₂-v      代入數(shù)據(jù)得：v₂=v₁+2 m/s   
聯(lián)立求得：v₁=1 m/s，v₂=3 m/s
答：（1）金屬桿的質(zhì)量m為0.2kg；
（2）在此過程中通過金屬棒橫截面的電荷量為0.65C；
（3）兩根金屬桿各自的最大速度為1 m/s與3 m/s．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，第3問關(guān)鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關(guān)系．