Question

【題目】如圖所示的兩個(gè)圓形磁場可實(shí)現(xiàn)帶電粒子的匯聚與側(cè)移。在x-y軸直角坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)圓形磁場Ⅰ、Ⅱ相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓心均在y軸上，半徑均為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，垂直于x-y軸直角坐標(biāo)平面且方向相反。大量帶正電的粒子質(zhì)量為m，帶電量為q，以平行于x軸的速度v沿x軸正方向進(jìn)入磁場Ⅰ，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后匯聚于坐標(biāo)原點(diǎn)O并進(jìn)入磁場Ⅱ，經(jīng)磁場Ⅱ再次偏轉(zhuǎn)后以平行于x軸的方向離開磁場Ⅱ?qū)崿F(xiàn)側(cè)移。在x軸下方有一平行于y軸的長度為R的粒子收集板PQ，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2R，-2R）。粒子打在收集板上被吸收不影響其他粒子的運(yùn)動(dòng)。不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。

(1)求磁場Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；

(2)虛線MN平行于y軸且與磁場Ⅰ相切，經(jīng)過MN上縱坐標(biāo)為1.5R的點(diǎn)的粒子能否打在收集板上？若不能，請(qǐng)說明理由。若能，求其從MN到PQ的時(shí)間；

(3)假設(shè)收集板上端P點(diǎn)與x軸之間的距離d可在0與R之間變化，寫出從MN到PQ的粒子打在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間T1和打在P點(diǎn)時(shí)間T2關(guān)于d的關(guān)系式。（解題中涉及的角度可用余弦的反三角函數(shù)表示，如）

Answer 1

【答案】(1)，方向垂直x-y軸直角坐標(biāo)平面向外；(2)能，；(3)

【解析】

(1)欲使帶電粒子匯聚于O點(diǎn)并實(shí)現(xiàn)側(cè)移，由幾何關(guān)系可知，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)

可得

方向垂直x-y軸直角坐標(biāo)平面向外。

（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，

由幾何關(guān)系可知，粒子在每個(gè)磁場中的運(yùn)動(dòng)圓心角θ均為，故粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

粒子在磁場外的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

所以粒子從MN到PQ的時(shí)間為

（3）當(dāng)PQ上端P點(diǎn)與x軸的距離為d時(shí)，從MN到PQ的粒子打在Q點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長。打在Q點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示

O1和O2分別為其在磁場ⅠⅡ中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，其在磁場中的軌跡關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。過O2作O2K垂直X軸，在三角形O2KO中

則粒子在一個(gè)磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角

所以

從MN到PQ的粒子打在P點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。打在P點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示，

O2為其在磁場Ⅱ中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，在三角形O2KO中，粒了在一個(gè)磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角

則