Question

13．“嫦娥一號(hào)”是我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為h=200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為T(mén)=127分鐘．已知引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，月球半徑約為R=1.74×10³km．利用以上條件寫(xiě)出月球密度的表達(dá)式且計(jì)算出其數(shù)值約是多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字） （已知半徑為R的球體體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 嫦娥一號(hào)繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，已知軌道半徑和運(yùn)動(dòng)行周期求月球質(zhì)量，再根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$求解密度．

解答 解：根據(jù)有引力提供嫦娥一號(hào)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
得中心天體月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
代入軌道半徑r=R+h=1.74×10³+200km=1.94×10⁶m，周期T=127min=127×60s=7620s，引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg²
可得月球質(zhì)量M=7.4×10²²kg
則密度$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{3{π}^{\;}（R+h）}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
代入數(shù)據(jù)得：ρ=$\frac{7.4×1{0}^{22}}{\frac{4}{3}π•（1.74×1{0}^{6}）^{3}}$=3.5×10³kg/m³
答：月球密度的表達(dá)式為$ρ=\frac{3{π}^{\;}（R+h）}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，其值為3.5×10³kg/m³

點(diǎn)評(píng) 注意萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力只能計(jì)算中心天體的質(zhì)量，不能計(jì)算環(huán)繞天體的質(zhì)量．