Question

如圖所示，BC為半徑等于

2

5

2

m豎直放置的光滑細(xì)圓管，O為細(xì)圓管的圓心，在圓管的末端C連接傾斜角為45°、動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.6的足夠長(zhǎng)粗糙斜面，一質(zhì)量為m=0.5kg的小球從O點(diǎn)正上方某處A點(diǎn)以v₀水平拋出，恰好能垂直O(jiān)B從B點(diǎn)進(jìn)入細(xì)圓管，小球從進(jìn)入圓管開(kāi)始受到始終豎直向上的力F=5N的作用，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圓管的末端C時(shí)作用力F立即消失，小球能平滑地沖上粗糙斜面．（g=10m/s²，

2

≈1.4）求：
（1）小球從O點(diǎn)的正上方某處A點(diǎn)水平拋出的初速度v₀為多少？
（2）小球在從A點(diǎn)拋出到達(dá)到CD最高點(diǎn)的總時(shí)間？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
（3）判斷小球能否停在斜面上？若能請(qǐng)計(jì)算出所停的位置；若不能則請(qǐng)計(jì)算出此后通過(guò)C點(diǎn)時(shí)小球?qū)�圓管的最大壓力的大小．

Answer 1

分析：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系即可求得初速度；
（2）小球從進(jìn)入圓管開(kāi)始受到始終豎直向上的力F=5N的作用，跟重力恰好平衡，說(shuō)明小球在圓管中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．分三段分別求出時(shí)間，即可求出總時(shí)間；
（3）判斷小球能否停在斜面上，關(guān)鍵看重力沿斜面的分量跟滑動(dòng)摩擦力的大小，如果重力沿斜面的分量大于滑動(dòng)摩擦力，則不能靜止，由向心力公式即可求出壓力．

解答：解：（1）小球從A運(yùn)動(dòng)到B為平拋運(yùn)動(dòng)，有：
rsin45°=v₀t-------①
在B點(diǎn)有：tan45°=

gt

v0

-------②
解以上兩式得：v₀=2m/s              
（2）在B點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)的合成與分解有：
v_B=

v0

sin45°

=2

2

m/s-------③
平拋運(yùn)動(dòng)A到B的時(shí)間為t₁，則
Rsin45°=v₀t₁-------④
小球在管中受三個(gè)力作用，則小球在管中以v_B=2

2

m/s做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B到C時(shí)間為t₂，故

3

4

πR=vBt2-------⑤
在CD上滑行到最高點(diǎn)時(shí)間為t₃ 根據(jù)牛頓第二定律得小球在斜面上滑的加速度為a₁則mgsin45°+μmgcos45°=ma₁------⑥
由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：v_c=v_B=a₁t₃-------⑦
由③④⑤⑥⑦聯(lián)立得：t=t₁+t₂+t₃=0.92s
（3）因?yàn)棣蹋紅anθ，故小球不能停止在斜面上    
根據(jù)牛頓第二定律得小球在斜面下滑的加速度為a₂則mgsin45°-μmgcos45°=ma₂------⑧
當(dāng)小球第一次回到c點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最大，設(shè)此時(shí)的速度為

v

′ C

由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有

v 2 C

2a1

=

v′C2

2a2

-------⑨
在C點(diǎn)由牛頓第二定律得N-mg=m

v′C2

R

-------⑩
由⑧⑨⑩聯(lián)立得：N=6.75N          
答：（1）小球從O點(diǎn)的正上方某處A點(diǎn)水平拋出的初速度為2m/s；
（2）小球在從A點(diǎn)拋出到達(dá)到CD最高點(diǎn)的總時(shí)間為0.92s；
（3）小球不能停止在斜面上，小球通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓管的最大壓力為6.75N．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了牛頓第二定律及平拋運(yùn)動(dòng)基本公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確對(duì)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力情況判斷運(yùn)動(dòng)情況，并熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式解題．