Question

在豎直平面內(nèi)放置一長(zhǎng)為L(zhǎng)、內(nèi)壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一個(gè)直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質(zhì)量為m．玻璃管右邊的空間存在著勻強(qiáng)磁場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)．勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向下，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

mg

q

．如圖所示，場(chǎng)的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠(yuǎn)．玻璃管帶著小球以水平速度v₀垂直于左邊界進(jìn)入場(chǎng)中向右運(yùn)動(dòng)，由于水平外力F的作用，玻璃管進(jìn)入場(chǎng)中速度保持不變，一段時(shí)間后小球從玻璃管b端滑出并能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，最后從左邊界飛離電磁場(chǎng)．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力．
（1）試分析小球在玻璃管中的運(yùn)動(dòng)情況；
（2）試求小球從玻璃管b端滑出時(shí)的速度大��；
（3）試求小球離開(kāi)場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與左邊界的夾角．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)小球受力與運(yùn)動(dòng)的分析，可知，小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)；
（2）根據(jù)電場(chǎng)力與重力平衡，可確定電場(chǎng)力，從而求出加速度．并由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可求出小球運(yùn)動(dòng)到b端的速度大��；
（3）根據(jù)左手定則來(lái)確定洛倫茲力的方向，從而畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并由牛頓第二定律與幾何關(guān)系來(lái)確定，即可求解．

解答：解：（1）小球在玻璃管中沿水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)
豎直方向做初速為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)  或小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng) 
（2）由E=

mg

q

得，Eq=mg即重力與電場(chǎng)力平衡
所以小球在管中運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=

Fy

m

=

Bv0q

m

設(shè)小球運(yùn)動(dòng)至b端時(shí)的y方向速度分量為v_y，則：

v

2 y

=2aL
所以小球運(yùn)動(dòng)至b端時(shí)速度大小為v=

2Bv0q m L+ v 2 0

（3）設(shè)小球在管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
t時(shí)間內(nèi)玻璃管的運(yùn)動(dòng)距離x=v₀t
由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

R

由幾何關(guān)系得：sinα=

x-x1

R

因?yàn)椋?span id="8s684em" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

x1

R

=

vy

v

所以x1=

vy

v

R=

qv0Bt

mv

?

mv

qB

=v0t=x
可得sinα=0
故α=0⁰，即小球飛離磁場(chǎng)時(shí)速度方向垂直于磁場(chǎng)邊界向左  
答：（1）小球做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)；
（2）則小球從玻璃管b端滑出時(shí)的速度大小為v=

2Bv0q m L+ v 2 0

；
（3）則小球離開(kāi)場(chǎng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向與左邊界的夾角為0．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的處理規(guī)律，以及粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法，掌握牛頓第二定律與幾何關(guān)系的綜合應(yīng)用．