Question

如圖所示，在豎直平面內放置一長為L、內壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一個直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質量為m．玻璃管右邊的空間存在著勻強電場與勻強磁場．勻強磁場方向垂直于紙面向外，磁感應強度為B；勻強電場方向豎直向下，電場強度大小為mg/q，場的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠．玻璃管帶著小球以水平速度V₀垂直于左邊界進入場中向右運動，由于水平外力F的作用，玻璃管進入場中速度保持不變，一段時間后小球從玻璃管b端滑出并能在豎直平面內自由運動，最后從左邊界飛離電磁場．運動過程中小球的電荷量保持不變，不計一切阻力，求：
（1）小球從玻璃管b端滑出時的速度大�。�
（2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F所做的功；
（3）從玻璃管進入磁場至小球離開場的過程中小球的最大位移．

Answer 1

分析：（1）小球的運動分解為水平方向和豎直方向，如圖．在y軸方向，重力與電場力平衡，小球受到洛倫茲力向上的分力，大小F_y=qv₀B不變，則小球在y軸方向做勻加速直線運動．由牛頓第二定律和運動學公式求解．
（2）水平方向上外力F與洛倫茲力水平方向分力平衡，根據(jù)運動的分解求出v_y、小球在管中運動的時間和水平位移x，研究外力F與水平位移的關系，根據(jù)功的計算公式求解．
（3）小球飛離管口后在磁場中做勻速圓周運動，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識求出最大位移．

解答：解：（1）由E=

mg

q

得，qE=mg，即小球的重力與電場力平衡．
     小球在管中向上運動的加速度為a=

Fy

m

=

qv0B

m

，不變
設小球運動到b端時沿y方向的分速度為v_y，則
      v_y²=2aL
故小球從玻璃管b端滑出時的速度大小為
     v=

v 2 0 +v 2 y

=

v 2 0 + 2qv0BL m

    （2）由平衡條件可知玻璃管受到的水平外力為
     F=F_y=qv_yB，v_y=at=

qv0B

m

t
解得F=

q2B2v0

m

t
   又L=

1

2

at2，得t=

2L a

=

2mL qBv0

   水平方向位移x=v₀t，得到F=

q2B2x

m

可見F是變力，而且大小隨玻璃管的位移增大而均勻變化，
   則F所做的功為
   W=

1

2

（0+

q2B2v0

m

2mL qBv0

）?v0

2mL qBv0

=qBv₀L
（3）由于小球的重力與電場力平衡，則小球離開玻璃管后做勻速圓周運動，設半徑為R，其運動軌跡如圖．
t時間內玻璃管運動的距離x=v₀t=v₀

2mL qBv0

   由牛頓第二定律得qvB=m

v2

R

   由幾何關系得：sinα=

x-x1

R

        又

x1

R

=

vy

v

  則x₁=

vy

v

R=

qBv0t

mv

?

mv

qB

=v₀t=x
得到sinα=0．故小球飛離磁場時速度方向垂直于磁場邊界向左．
   則小球在磁場中運動的最大位移為
     S=L+R（1+cosθ）
其中cosθ=

v0

v 2 0 + 2qBLv0 m

     得到S=L+

m

qB

(

2qBv0L m + v 2 0

+v0)
答：（1）小球從玻璃管b端滑出時的速度大小為

v 2 0 + 2qv0BL m

；
    （2）從玻璃管進入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F所做的功為qBv₀L；
    （3）從玻璃管進入磁場至小球離開場的過程中小球的最大位移為L+

m

qB

(

2qBv0L m + v 2 0

+v0)．

點評：本題第（2）問也可以用動能定理求解：對系統(tǒng)W=

1

2

m(v2-

v

2 0

)=

1

2

m

v

2 y

=qBv₀L．