【題目】已知數(shù)列的前項和為，其中為常數(shù)．

（1）證明： ；

（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．

【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項的積為，記，.

（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，求數(shù)列的公比.

（2）若，，且

①求數(shù)列的通項公式.

②記，那么數(shù)列中是否存在兩項，（s，t均為正偶數(shù)，且），使得數(shù)列，，，成等差數(shù)列？若存在，求s，t的值；若不存在，請說明理由.

【題目】已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，求實數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)有2個不同的零點，．

①求實數(shù)a的取值范圍；

②求證：．

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知為橢圓的上頂點，P為橢圓E上異于上、下頂點的一個動點．當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為時，．

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M為x軸的正半軸上的一個動點．

①若點P在第一象限內(nèi)，且以AP為直徑的圓恰好與x軸相切于點M，求AP的長．

②若，是否存在點N，滿足，且AN的中點恰好在橢圓E上？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面，它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成．如圖2，路面寬度，下部支撐箱CDEF為等腰梯形（），且．為了保證承重能力與穩(wěn)定性，需下部支撐箱的面積為，高度為2m且，若路面AB．側(cè)邊CF和DE，底部EF的造價分別為4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a為正常數(shù)），．

（1）試用θ表示箱梁的總造價y（千元）；

（2）試確定cosθ的值，使總造價最低?并求最低總造價．

（1）寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；

（2）為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

【題目】為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時間成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）.如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為________；

（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少時間學(xué)生才能回到教室？

【題目】某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的出售，當(dāng)顧客在商場內(nèi)消費(fèi)一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：

根據(jù)上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠，例如：購買標(biāo)價為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為：元，設(shè)購買商品得到的優(yōu)惠率＝（購買商品獲得的優(yōu)惠額）/（商品標(biāo)價），試問：

（1）若購買一件標(biāo)價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？

（2）對于標(biāo)價在（元）內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，且直線與曲線C有兩個不同的交點.

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）已知M為曲線C上一點，且曲線C在點M處的切線與直線垂直，求點M的直角坐標(biāo).

（1）當(dāng)a時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若a為整數(shù)，且不等式f（x）≥x對任意x∈（0，+∞）恒成立，求a的最小值．