Question

【題目】圖1是某高架橋箱梁的橫截面，它由上部路面和下部支撐箱兩部分組成．如圖2，路面寬度，下部支撐箱CDEF為等腰梯形（），且．為了保證承重能力與穩(wěn)定性，需下部支撐箱的面積為，高度為2m且，若路面AB．側(cè)邊CF和DE，底部EF的造價(jià)分別為4a千元/m，5a千元/m，6a千元/m（a為正常數(shù)），．

（1）試用θ表示箱梁的總造價(jià)y（千元）；

（2）試確定cosθ的值，使總造價(jià)最低?并求最低總造價(jià)．

Answer 1

【答案】（1），，其中；（2）當(dāng)的值為時(shí)，總造價(jià)最低，為千元．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，由三角函數(shù)及支撐面面積可得，寫出總造價(jià)與θ的關(guān)系，并分析函數(shù)定義域；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論.

（1）過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，則，

所以在中，，．

設(shè)，

則由題意得，解得，

所以，

故路面AB的造價(jià)為千元，

側(cè)邊CF和DE的造價(jià)為千元．

底部EF的造價(jià)為，

所以，

又因?yàn)?/span>，

則，

設(shè)銳角滿足，則．

因此，，，其中．

（2）由（1）知

設(shè)，其中，

則．

令，則．

因?yàn)?/span>．

所以，列表如下：

		－	0	＋
			4

所以當(dāng)時(shí)，，有．

答：當(dāng)的值為時(shí)，總造價(jià)最低，為千元．