在△ABC中，求證：
（1）sin²A+sin²B-sin²C=2sinAsinBcosC；
（2）sinA+sinB-sinC=4sin

A

2

sin

B

2

cos

C

2

．

已知函數(shù)f（x）=（2cos²x-1）cosφ+sin2xsinφ（0＜φ＜π）的圖象過(guò)點(diǎn)（

π

12

，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

已知函數(shù)f（x）=x（x+a）-lnx，其中a為常數(shù)．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若f（x）是區(qū)（

1

2

，1）內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可以作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

通常把大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱為可入肺顆粒物）稱為PM2.5．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，空氣質(zhì)量與PM2.5的關(guān)系如下表：

空氣質(zhì)量	一級(jí)	二級(jí)	超標(biāo)
日均值（微克/立方米）	35以下	35～75	75以上

某城市環(huán)保局從該市城區(qū)2012年冬季每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（1）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求至少有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天的數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

如圖，在三菱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁B₁B為矩形，平面AA₁B₁B⊥平面ABC．∠ABC=90°，AB=BC=

1

2

AA₁=1，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AA₁上一點(diǎn)．
（1）求證：平面BEF⊥平面AA₁C₁C；
（2）當(dāng)AE的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A₁-C₁E-B₁為60°？

已知圓C₁的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l₁：x-2y+3

5

=0相切，設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AM⊥x軸于點(diǎn)M，且動(dòng)點(diǎn)N滿足

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程，
（Ⅱ）直線l與直線l₁垂直且與曲線C交于B、D兩點(diǎn)，求△OBD面積的最大值．

如圖，正三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：
①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
②恒有平面A′GF⊥平面BCED；
③三棱錐A′-FED的體積有最大值；
④直線A′E與BD不可能垂直．
其中正確的命題的序號(hào)是．

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇-2，2]，求函數(shù)y=f（x-1）-f（2x-4）的定義域．

已知常數(shù)λ≥0，設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足：a₁=1，S_n+1=

an+1

an

S_n+（λ•3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）若λ=0，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n+1＜

1

2

a_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

在等差數(shù)列{a_n}中，a₃=5，a₂+2a₅=21．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若S₃，S_k，S₁₂成等比數(shù)列，求k的值．