Question

已知圓C₁的圓心在坐標原點O，且恰好與直線l₁：x-2y+3

5

=0相切，設(shè)點A為圓上一動點，AM⊥x軸于點M，且動點N滿足

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，設(shè)動點N的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程，
（Ⅱ）直線l與直線l₁垂直且與曲線C交于B、D兩點，求△OBD面積的最大值．

Answer 1

考點：向量加減混合運算及其幾何意義

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）A（x₀，y₀），先求出圓C₁的方程，再根據(jù)動點N滿足

ON

+（1-

3

3

）

OM

，得到關(guān)于x₀，y₀的方程組，解得即可．
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立方程組求出x₁，x₂，再根據(jù)點到直線的距離公式，表示出三角形的面積，利用基本不等式解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動點N（x，y），A（x₀，y₀），因為AM⊥x軸于M，所以M（x₀，0），
設(shè)圓C₁的方程為x²+y²=r²，由題意得r=

|3 5 |

1+4

=3，所以圓C₁的程為x²+y²=9．
由題意，

ON

=

3

3

OA

+(1-

3

3

)

OM

，所以(x，y)=

3

3

(x0，y0)+(1-

3

3

)(x0，0)，
所以

x=x0 y= 3 3 y0

即

x0=x y0= 3 y.

將A(x，

3

y)代入圓x²+y²=9，得動點N的軌跡方程

x2

9

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l：2x+y+m=0，設(shè)直線l與橢圓

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

y=-2x-m x2+3y2=9

得13x²+12mx+3m²-9=0，△=144m²-13×4（3m²-9）＞0，解得m²＜39，x1，2=

-12m± 468-12m2

26

=

-6m± 117-3m2

13

，
又因為點O到直線l的距離d=

|m|

5

，BD=

5

•|x1-x2|=

5

•

2 117-3m2

13

，S△OBD=

1

2

•

|m|

5

•

5

2 117-3m2

13

=

m2(117-3m2)

13

=

3m2(39-m2)

13

≤

3 3

2

．（當且僅當m²=39-m²即 m2=

39

2

時取到最大值）
∴△OBD面積的最大值為

3 3

2

．

點評：本題考查了向量，圓的方程，橢圓的方程，點到直線的距離，基本不等式，是一道綜合題，難度有些大，需要認真仔細．