觀察下題的解答過程：
已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1，求

2a+1

+

2b+1

的最大值
解：∵

2a+1

•

2

≤

2a+1 2+ 2 2

2

=a+

3

2

，

2b+1

•

2

≤

2b+1 2+ 2 2

2

=b+

3

2

相加得

2a+1

•

2

+

2b+1

•

2

=

2

（

2a+1

+

2b+1

）≤a+b+3=4∴

2b+1

+

2b+1

≤2

2

，等號(hào)在a=b=

1

2

時(shí)取得，即

2a+1

+

2b+1

的最大值為2

2

請(qǐng)類比上題解法，使用綜合法證明下題：
已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求證：

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

≤

21

．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（2，

3

），點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

為治理霧霾，環(huán)保部門加大對(duì)企業(yè)污染物排放的監(jiān)管力度，某企業(yè)決定對(duì)一條價(jià)值60萬元的老舊流水線進(jìn)行升級(jí)改造，既要減少為染污的排放，更要提高該流水線的生產(chǎn)能力，從而提高產(chǎn)品附加值，預(yù)測(cè)產(chǎn)品附加值y（單位：萬元）與投入改造資金x（單位：萬元）之間的關(guān)系滿足：①y與（60-x）x²成正比例；②當(dāng)x=30時(shí)，y=90；③改造資金x滿足不等式0≤

x

2(60-x)

≤t，其中t為常數(shù)，且t∈[0，3]．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并求出其定義域；
（Ⅱ）求投入改造資金x取何值時(shí)，產(chǎn)品附加值y達(dá)到最大？

在一張畫有直角坐標(biāo)系的紙片中，作以點(diǎn)M（-1，0）為圓心，半徑為2

2

的圓，折疊紙片使圓周上的某一個(gè)點(diǎn)P恰好與定點(diǎn)N（1，0）重合，連接PM與折痕交于點(diǎn)Q，反復(fù)這樣折疊得到動(dòng)點(diǎn)Q的集合．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過直線x=2上的點(diǎn)T向圓O：x²+y²=2作兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與（Ⅰ）中的軌跡E相交于C，D兩點(diǎn)，求

|AB|

|CD|

的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=klnx，g（x）=e^x．
（1）若函數(shù)φ（x）=f（x）+x-

2

x

，求φ（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)直線l為函數(shù)f（x）的圖象上一點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線．若在區(qū)間（2，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；
（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線3x+4y-6=0交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2

3

，求m的值．
（3）在（1）的條件下，設(shè)直線x-y-1=0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

設(shè)實(shí)部為正數(shù)的復(fù)數(shù)z，滿足|z|=

10

，且復(fù)數(shù)（1+2i）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若

.

z

+

m-i

1+i

（m∈R）為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．

設(shè)無窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且a_n＞0（n∈N^*），[a_n]表示不超過實(shí)數(shù)a_n的最大整數(shù)（如[2.5]=2），記b_n=[a_n]，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（Ⅰ）若a₁=4，q=

1

2

，求T_n；
（Ⅱ）若對(duì)于任意不超過2014的正整數(shù)n，都有T_n=2n+1，證明：（

2

3

） 

1

2012

＜q＜1．
（Ⅲ）證明：S_n=T_n（n=1，2，3，…）的充分必要條件為：a₁∈N^*，q∈N^*．

過圓x²+y²=9上的點(diǎn)T（-1，2

2

）作圓的動(dòng)弦，求動(dòng)弦的中點(diǎn)P的軌跡方程．

已知數(shù)列{a_n}中，點(diǎn)（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，且a₂=2．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求a_n；
（Ⅱ）設(shè)bn=3an，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意n∈N^*，都有(n+1)(2Sn+3)≤λ•4n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．