Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

2

2

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（2，

3

），點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線F₂M與F₂N的斜率互為相反數(shù)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知推導(dǎo)出

c

a

=

2

2

，（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MN的方程為y=k（x-2），從而能證明直線MN過定點(diǎn)（2，0）．

解答： （Ⅰ）解：由橢圓C的離心率e=

2

2

，
得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-c2

，
橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
又點(diǎn)F₂在線段PF₁的中垂線上，
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴（2c）²=（

3

）²+（2-c）²，
解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）證明：由題意知直線MN存在斜率，設(shè)其方程為y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，（8分）
由已知，得kF2M+kF2N=0，
∴

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化簡(jiǎn)，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m）=0，（10分）
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0，
整理得m=-2k，
直線MN的方程為y=k（x-2），
∴直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．