已知點(diǎn)A（2，3），B（1，0），C（-1，0），點(diǎn)D、E分別在線段AB、AC上，

AD

DB

=λ₁，

AE

EC

=λ₂，且λ₁+λ₂=1，線段BE、CD交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P軌跡的長度是．

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）函數(shù)y=f（x）是否可能在R上是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，

2

3

）上遞增，在區(qū)間（1，+∞）上遞減，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點(diǎn)．如果函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N*)有且僅有兩個不動點(diǎn)0，2，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)c=2時，各項(xiàng)均為負(fù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，4Sn•f(

1

an

)=1，求證：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（2）設(shè)b_n=-

1

an

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求證：T₂₀₁₃-1＜ln2013＜T₂₀₁₂．

若cos（x+y）cos（x-y）=

1

3

，則cos2x-sin2y=．

定義在（0，

π

2

）上的函數(shù)y=2cosx與y=3tanx交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到x軸的距離為．

已知橢圓E長軸的一個端點(diǎn)是拋物線y²=12x的焦點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離是1．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A、B是橢圓E的左右端點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P是橢圓E上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP、BP分別交y軸于M、N，問

OM

•

0N

是否為定值，說明理由．

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）及B（0，-1），且與直線x+y-1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），使得對圓C上的任意一點(diǎn)M，

MP

MO

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值均保持不變（即為同一常數(shù)），若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，-3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)M是（1）中拋物線上一個動點(diǎn)，且位于直線AC的上方，試求△ACM的最大面積以及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

已知焦點(diǎn)F在x軸上的拋物線C經(jīng)過定點(diǎn)P（3，2

3

），過F任意做C的弦AB，若弦AB的長不超8，且直線AB與橢圓3x²+2y²=2相交于不同的兩點(diǎn)，求直線AB的傾斜角θ的取值范圍．

設(shè)點(diǎn)P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)F₁、F₂，|PF₁|=4|PF₂|，求雙曲線離心率的取值范圍．