Question

設(shè)點(diǎn)P在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上，雙曲線兩焦點(diǎn)F₁、F₂，|PF₁|=4|PF₂|，求雙曲線離心率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a進(jìn)而根據(jù)|PF₁|=4|PF₂|，求得2a=3|PF₂|，同時(shí)利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，推斷出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，進(jìn)而求得a和c的不等式關(guān)系，分析當(dāng)p為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，

c

a

=

5

3

且雙曲線離心率大于1，最后綜合答案可得．

解答： 解根據(jù)雙曲線定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，即4|PF₁|-|PF₁|=2a．
∴|PF₁|=

8a

3

，|PF₂|=

2a

3

在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜5|PF₂||，c＜

5

2

|PF₂|=

5

3

a，
∴

c

a

＜

5

3

，
當(dāng)p為雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，

c

a

=

5

3

又∵雙曲線e＞1，
∴1＜e≤

5

3

，
故雙曲線離心率的取值范圍為：（1，

5

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，三角形邊與邊之間的關(guān)系．解題的時(shí)候一定要注意點(diǎn)P在橢圓頂點(diǎn)位置時(shí)的情況，以免遺漏答案．