Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，-3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)M是（1）中拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的上方，試求△ACM的最大面積以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形？如果存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）代入A，C兩點(diǎn)，列出方程，解得a，b即可；
（2）設(shè)M（a，-a²+4a-3），直線AC：y=1-x，過(guò)M作x軸的垂線交AC于N，則N（a，1-a），即有三角形ACM的面積為△AMN和△CMN的面積之和，化簡(jiǎn)運(yùn)用二次函數(shù)的最值，即可得到；
（3）討論當(dāng)∠ACP=90°，當(dāng)∠CAP=90°，運(yùn)用直線方程和拋物線方程求交點(diǎn)即可．

解答： 解：（1）由于A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，-3），
則a+b-3=0，且16a+4b-3=-3，解得，a=-1，b=4，
即有y=-x²+4x-3；
（2）設(shè)M（a，-a²+4a-3），直線AC：y=1-x，
過(guò)M作x軸的垂線交AC于N，則N（a，1-a），
即有三角形ACM的面積為△AMN與△CMN的面積之和，即為

1

2

（a-1+4-a）（-a²+4a-3-1+a）
=

3

2

（-a²+5a-4），當(dāng)a=

5

2

時(shí)，面積取得最大，且為

27

8

，
此時(shí)M（

5

2

，

3

4

）；
（3）當(dāng)∠ACP=90°，即有此時(shí)CP：y=x-7，代入拋物線方程，可得，P（-1，-8）；
當(dāng)∠CAP=90°，即有此時(shí)AP：y=x-1，代入拋物線方程，可得，P（2，1）．
故存在點(diǎn)P，且為（-1，-8）或（2，1），使得△PAC是以AC為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，解方程求交點(diǎn)，考查二次函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題．