Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E為BC的中點，AA₁⊥平面ABCD．
（1）求證：B₁C∥平面A₁DE；
（2）求證：平面A₁AE⊥平面A₁DE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)B₁C，由已知得B₁C∥A₁D，由此能證明B₁C∥平面A₁DE．
（2）由題意得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，∠CED=∠CDE=

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(180°-∠ECD)=30°，從而DE⊥AE，進(jìn)而DE⊥平面A₁AE，由此能證明平面A₁AE⊥平面A₁DE．

解答： 證明：（1）連結(jié)B₁C，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，
∴B₁C∥A₁D，
又B₁C?平面A₁DE，A₁D?平面A₁DE，
∴B₁C∥平面A₁DE．
（2）由題意得BE=EC=

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BC=AB=CD，
∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，
又△CDE中，∠CED=∠CDE=

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(180°-∠ECD)=30°，
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°，即DE⊥AE，
∵AA₁∩AE=A，∴DE⊥平面A₁AE，
∵DE?平面A₁DE，∴平面A₁AE⊥平面A₁DE．

點評：本題考查線面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．