Question

【題目】已知函數(shù)．，且．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)與函數(shù)在公共點(diǎn)處有相同的切線，且在上恒成立．

（i）求和的值；（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）

（ii）求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．(2) （i）（ii）

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；

(2)（i）根據(jù)點(diǎn)P是與的公共點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組，求解即可得到和的值；

（ii）由，以及題設(shè)條件，判斷是的極小值點(diǎn)，由，列出方程，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)得到其最值，即可得到實(shí)數(shù)n的取值范圍．

解：（1）∵

又因?yàn)?/span>，所以．

令，則，

∴；

令，則，

∴或

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．

（2）（i）∵與在公共點(diǎn)處有相同的切線

∴，∴．

（ii）∵在恒成立，且．

是的極值點(diǎn)，若是的極大值點(diǎn)，由于，則不滿足在上恒成立．

∴是的極小值點(diǎn)，由（1）知

∴

∴，

令，，∴，

令則，．∵，，．

∴的值域?yàn)?/span>

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是