【題目】已知函數(shù)(,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)有兩個不同的零點.
(。┊時,求實數(shù)的取值范圍;
(ⅱ)設的導函數(shù)為,求證:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(i);(ii)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)先對函數(shù)求導,得到,根據(jù),由,即可求出單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)(。┫扔桑á瘢┑玫,分和兩種情況討論,用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,進而可得出結(jié)果;
(ⅱ)先由題意得到,從而有,設,,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,進而可證明結(jié)論成立.
(Ⅰ)由題意得,當時,令,得,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知,,
當時,,函數(shù)在R上單調(diào)遞增,不合題意,所以.
又時,;,,
函數(shù)有兩個零點,函數(shù)在遞減,函數(shù)在遞增, ,
,得.
(ⅱ)由題意得:
,兩式相減,得,
不妨設,,則
令,,,
在上單調(diào)遞減,,即.
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【題目】已知函數(shù).
(1)①若直線與的圖象相切, 求實數(shù)的值;
②令函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
(2)已知不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知拋物線,過其焦點的直線與拋物線相交于、兩點,滿足.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知點的坐標為,記直線、的斜率分別為,,求的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓,射線與曲線交于點.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知極坐標系中兩點,,若、都在曲線上,求的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x).
(Ⅰ)當m=時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整數(shù)m的最小值;
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【題目】已知橢圓的焦點坐標是,過點且垂直于長軸的直線交橢圓于兩點,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點的直線與橢圓交于不同的兩點,問三角形內(nèi)切圓面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值及此時直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】以下四個命題:①命題“若,則”的逆否命題為“若,則”;②“”是“”的充分不必要條件; ③若為假命題,則均為假命題;④對于命題使得,則為,均有.其中,真命題的個數(shù)是 ( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,且,現(xiàn)有如下四個結(jié)論:
;平面;
三棱錐的體積為定值;異面直線所成的角為定值,
其中正確結(jié)論的序號是______.
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