Question

12．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{3}$，求2a-c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，化簡求解角B；
（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$bcosC+\sqrt{3}bsinC=a+c$，
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=sinA+sinC$．
∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）．
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=sin（B+C）+sinC$．
化簡，得$sinC（\sqrt{3}sinB-cosB-1）=0$．
又sinC＞0，∴$\sqrt{3}sinB-cosB-1=0$．∴$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
又0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$B=\frac{π}{3}$，∴$A+C=\frac{2π}{3}$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$，即a=2sinA，c=2sinC．
所以$2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin（\frac{2π}{3}-A）$=$3sinA-\sqrt{3}cosA=2\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA）$=$2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）$．∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$．∴$-\frac{1}{2}＜sin（A-\frac{π}{6}）＜1$，$-\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{6}）＜2\sqrt{3}$．
所以2a-c的取值范圍為$（-\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$．…（12分）

點評 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．