Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)， .
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求面積的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：（1）根據(jù)已知分析可得點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為,，即點(diǎn)。法一：將代入橢圓方程，結(jié)合且，解方程組可得的值。法二：根據(jù)橢圓的定義求點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和即為，再根據(jù)關(guān)系式求得。（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為,顯然（注意討論直線斜率存在與否）。當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，將代入橢圓方程可得的縱坐標(biāo)，從而可得，根據(jù)橢圓圖像的對(duì)稱性可知，因此可得。當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消去（或）得關(guān)于的一元二次方程，從而可得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)弦長(zhǎng)公式求，再用點(diǎn)到線的距離公式求點(diǎn)到直線的距離，所以。最后根據(jù)基本不等式求其范圍即可。
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050125044333.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，
所以，且.                          1分
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050124966753.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.                               2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240501259801074.png" style="vertical-align:middle;" />,                              3分
所以.
所以橢圓的方程為.                               4分
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為,顯然.
（1）當(dāng)不存在時(shí)，直線的方程為，                      
所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050126198552.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.                                 5分
（2）當(dāng)存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.
由,消并整理得:
.                     6分
設(shè),則
，.                            7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240501264791200.png" style="vertical-align:middle;" />


，                                       8分
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，          9分
所以




                                10分
設(shè)，則


             
.                          11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050126807457.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，        12分
所以.
所以.                      
所以.
所以.
所以
所以.                                      13分
綜合（1）（2）可知 .                       14分