Question

長方形中，，．以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．

(1) 求以、為焦點(diǎn)，且過、兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2) 過點(diǎn)的直線交(1)中橢圓于兩點(diǎn)，是否存在直線，使得以線段為直徑的圓恰好過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1)；(2) 存在過的直線:，理由見解析．

試題分析：（1）由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知，求得，進(jìn)而根據(jù)和的關(guān)系求得，則橢圓的方程可得；（2）設(shè)直線的方程為．與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．根據(jù)韋達(dá)定理求得和，進(jìn)而根據(jù)若以為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，推斷則，得知，根據(jù)求得代入即可求得，最后檢驗(yàn)看是否符合題意．
(1)由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
，．
.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(2) 由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程,消去整理得．
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
∴．
若以為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,所以，
所以,，即．
所以，即
得滿足，
所以直線的方程為,或.
故存在過的直線:使得以弦為直徑的圓恰好過原點(diǎn)．