Question

已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為2+2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)右焦點(diǎn)F₂作直線l 與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，若，求的取值范圍．

Answer 1

(1) ； (2)

試題分析：(1)由題設(shè)知   橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)因?yàn)楫?dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，不適合題意，所以直線的斜率存在，設(shè)為，直線的方程為，它與橢圓的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，則由得
通過(guò)方程組，借助韋達(dá)定理，得到，結(jié)合得到與的關(guān)系式，并且可由得到的取值范圍；
另一方面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240441402531735.png" style="vertical-align:middle;" />由前述的取值范圍可使問(wèn)題得到解決.
試題解析：
解：(1)由題意知： ，且 ，                    2分
解得 ，                            3分
橢圓的方程為 .                            4分
(2)由題意得直線 的斜率存在，右焦點(diǎn) ，可設(shè)直線 的方程為： 
由 得 
由題意 
設(shè)，則                 6分
由得                               7分
 
 
                                   9分
令 ， 在上單調(diào)遞增，
可得 
 
故，解得                           2分
 
=                   13分
 
即的取值范圍是                         14分