Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，且a_n，a_n+1是凼數(shù)f（x）=x²-b_nx+2ⁿ的兩個零點．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知，a_n•a_n+1=2ⁿ，從而an+1•an+2=2n+1，兩式相除得

an+2

an

=2，進而得到a₁，a₃，a₅，…成首基項為1，公比為2的等比數(shù)列，a₂，a₄，a₆，…成首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項公式；當n為奇數(shù)時，b_n=a_n+a_n+1=2

n-1

2

+2

n+1

2

=3×2

n-1

2

，當n為偶數(shù)時，b_n=a_n+a_n+1=2

n

2

+2

n

2

=2

n+2

2

，由此能求出{b_n}的通項公式．
（2）當n為奇數(shù)時，S_n=（b₁+b₃+b₅+…+b_n）+（b₂+b₄+b₆+…+b_n-1）=（3+6+12+…+3×2

n-1

2

）+（4+8+16+…+2

n+1

2

）；當n為偶數(shù)時，S_n=（b₁+b₃+b₅+…+b_n-1）+（b₂+b₄+b₆+…+b_n）=（3+6+12+…+3×2

n-3

2

）+（4+8+16+…+2

n+2

2

）．由此能求出S_n．

解答： 解：（1）由已知，a_n•a_n+1=2ⁿ，∴an+1•an+2=2n+1，
兩式相除得

an+2

an

=2
∴a₁，a₃，a₅，…成等比數(shù)列，a₂，a₄，a₆，…成等比數(shù)列．
∵a₁=1，∴a₂=2，
∴a₁，a₃，a₅，…成首基項為1，公比為2的等比數(shù)列，
a₂，a₄，a₆，…成首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴當n為奇數(shù)時，an=1×2

n-1

2

=2

n-1

2

，
當n為偶數(shù)時，a_n=2×2

n-2

2

=2

n

2

．
∴a_n=

2 n-1 2 ，n為奇數(shù) 2 n 2 ，n為偶數(shù)

．
又a_n+a_n+1=b_n，
∴當n為奇數(shù)時，b_n=a_n+a_n+1=2

n-1

2

+2

n+1

2

=3×2

n-1

2

，
當n為偶數(shù)時，b_n=a_n+a_n+1=2

n

2

+2

n

2

=2

n+2

2

，
∴b_n=

3×2 n-1 2 ，n為奇數(shù) 2 n+2 2 ，n為偶數(shù)

．
（2）∵b_n=

3×2 n-1 2 ，n為奇數(shù) 2 n+2 2 ，n為偶數(shù)

，
∴b₁=3，b₂=4，b₃=6，b₄=8，b₅=12，b₆=16，…
∴當n為奇數(shù)時，
S_n=（b₁+b₃+b₅+…+b_n）+（b₂+b₄+b₆+…+b_n-1）
=（3+6+12+…+3×2

n-1

2

）+（4+8+16+…+2

n+1

2

）
=3（2⁰+2+2²+…+2

n-1

2

）+（2²+2³+2⁴+…+2

n+1

2

）
=3×

1-2 n+1 2

1-2

+

4(1-2 n-1 2 )

1-2

=3•2

n+1

2

-3+2

n+3

2

-4
=3•2

n+1

2

+2

n+3

2

-7．
當n為偶數(shù)時，S_n=（b₁+b₃+b₅+…+b_n-1）+（b₂+b₄+b₆+…+b_n）
=（3+6+12+…+3×2

n-3

2

）+（4+8+16+…+2

n+2

2

）
=3（2⁰+2+2²+…+2

n-3

2

）+（2²+2³+2⁴+…+2

n+2

2

）
=3×

1-2 n 2

1-2

+

4(1-2 n 2 )

1-2

=3×2

n

2

-3+4×2

n

2

-4
=7×2

n

2

-7．
∴S_n=

3•2 n+1 2 +2 n+3 2 -7，n為奇數(shù) 7•2 n 2 -7，n為偶數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，涉及到韋達定理、分類討論思想、等比數(shù)列、分組求和等知識點，綜合性強，難度大，解題時要認真審題，注意題設條件中的隱含條件的合理運用．