【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P是圓上一動點,x軸于點D.記滿足的動點M的軌跡為Γ.
(1)求軌跡Γ的方程;
(2)已知直線與軌跡Γ交于不同兩點A,B,點G是線段AB中點,射線OG交軌跡Γ于點Q,且.
①證明:
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計算S(λ)的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
試題(1)由已知M是PD的中點,利用P點在圓上,可以求出M的點軌跡方程為;(2)點Q在(1)中的橢圓上,G是OQ上的分點,利用直線與橢圓的關(guān)系,可以找到λ與m和k的關(guān)系,并進一步將三角形AOB的面積表示成λ的函數(shù)關(guān)系式,再求出它的最大值.
試題解析:(1)設(shè),則點,且 (1)
∵
∴ (2)
將(2)代入(1),得
∴軌跡Γ的方程為; 5分
(2)①令
由消去y
得 6分
∴,即 (3)
∴
又由中點坐標(biāo)公式,得
根據(jù),得
將其代入橢圓方程,有
化簡得: (4) 9分
②由(3)(4)得
∵ (5)
在△AOB中, (6)
∴由(4)(5)(6)可得 12分
令
則(當(dāng)且僅當(dāng)t=1時,即時取“=”)
∴當(dāng)時,取得最大值,其最大值為1. 13分
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【題目】如圖,幾何體AMDCNB是由兩個完全相同的四棱錐構(gòu)成的幾何體,這兩個四棱錐的底面ABCD為正方形,,平面平面ABCD.
(1)證明:平面平面MDC.
(2)若,求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點.
(Ⅰ)證明: BC1//平面A1CD;
(Ⅱ)設(shè)AA1= AC=CB=2,AB=2,求三棱錐C一A1DE的體積.
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【題目】某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間,抽取其中50名學(xué)生組成一個樣本,將測試結(jié)果按如下方式分成五組:第一組,第二組……,第五組,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)請估計學(xué)校1800名學(xué)生中,成績屬于第四組的人數(shù);
(2)若成績小于15秒認(rèn)為良好,求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數(shù);
(3)請根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點坐標(biāo);
(2)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某市有一面積為12000平方米的三角形地塊,其中邊長為200米,現(xiàn)計劃建一個如圖所示的長方形停車場,停車場的四個頂點都在的三條邊上,其余的地面全部綠化.若建停車場的費用為180元/平方米,綠化的費用為60元/平方米,設(shè)米,建設(shè)工程的總費用為元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式:
(2)求停車場面積最大時的值,并求此時的工程總費用.
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【題目】已知二次函數(shù))滿足,且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2) 令,求函數(shù)在∈[0,2]上的最小值.
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