【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0垂直的切線,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)+ ,若g(x)有極大值點x1 , 求證: >a.

【答案】解:(Ⅰ)因為f′(x)= ﹣2a,x>0, 因為函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0垂直的切線,
所以f′(x)=﹣ 在(0,+∞)上有解,
﹣2a=﹣ 在(0,+∞)上有解,
也即x= 在(0,+∞)上有解,
所以 >0,得a> ,
故所求實數(shù)a的取值范圍是( ,+∞);
(Ⅱ)證明:因為g(x)=f(x)+ x2= x2+lnx﹣2ax,
因為g′(x)=
①當﹣1≤a≤1時,g(x)單調(diào)遞增無極值點,不符合題意,
②當a>1或a<﹣1時,令g′(x)=0,設(shè)x2﹣2ax+1=0的兩根為x1和x2 ,
因為x1為函數(shù)g(x)的極大值點,所以0<x1<x2 ,
又x1x2=1,x1+x2=2a>0,所以a>1,0<x1<1,
所以g′(x1)=x12﹣2ax1+ =0,則a= ,
要證明 >a,只需要證明x1lnx1+1>ax12 ,
因為x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1 +1=﹣ x1+x1lnx1+1,0<x1<1,
令h(x)=﹣ x3 x+xlnx+1,x∈(0,1),
所以h′(x)=﹣ x2 +lnx,記P(x)=﹣ x2 +lnx,x∈(0,1),
則P′(x)=﹣3x+ = ,
當0<x< 時,p′(x)>0,當 <x<1時,p′(x)<0,
所以p(x)max=p( )=﹣1+ln <0,所以h′(x)<0,
所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以h(x)>h(1)=0,原題得證
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),問題轉(zhuǎn)化為x= 在(0,+∞)上有解,求出a的范圍即可;(Ⅱ)求出g(x)的解析式,通過討論a的范圍,問題轉(zhuǎn)化為證明x1lnx1+1>ax12,令h(x)=﹣ x+xlnx+1,x∈(0,1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

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優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

男生

40

20

60

女生

20

30

50

總計

60

50

110

(1)試判斷是否有99%的把握認為環(huán)保知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān);

(2)為參加市舉辦的環(huán)保知識競賽,學校舉辦預(yù)選賽,現(xiàn)在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學中選3人參加預(yù)選賽,已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學通過預(yù)選賽的概率為,若隨機變量表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.

附:

0.500

0.400

0.100

0.010

0.001

0.455

0.708

2.706

6.635

10.828

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A.0
B.5
C.45
D.90

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x=y=sin2x+)的一條對稱軸;

y=esin2x是以π為周期在(0,)上的增函數(shù);

③函數(shù)y=3sin2x+)的圖象可由y=3sin2x的圖象向左平移個單位得到.

④設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程|logax|=ka0a≠1,k0)的兩根,則x1x2=1;

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(1)求圖中x的值;

(2)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù);

(3)已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為,若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進行座談,求2人均為男生的概率.

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