【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E為CD中點.
(Ⅰ)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,求AB的長.
【答案】解:(I)以A為原點, , , 的方向為X軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ,1,0),B1(a,0,1)
故 =(0,1,1), =(﹣ ,1,﹣1), =(a,0,1), =( ,1,0),
∵ =1﹣1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此時 =(0,﹣1,t).
又設(shè)平面B1AE的法向量 =(x,y,z).
∵ ⊥平面B1AE,∴ ⊥B1A, ⊥AE,得 ,取x=1,得平面B1AE的一個法向量 =(1,﹣ ,﹣a).
要使DP∥平面B1AE,只要 ⊥ ,即有 span> =0,有此得 ﹣at=0,解得t= ,即P(0,0, ),
又DP平面B1AE,
∴存在點P,滿足DP∥平面B1AE,此時AP=
(III)連接A1D,B1C,由長方體ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1 , 且B1C∩B1E=B1 .
∴AD1⊥平面DCB1A1 ,
∴ 是平面B1A1E的一個法向量,此時 =(0,1,1).
設(shè) 與 所成的角為θ,則cosθ= =
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°,
∴|cosθ|=cos30°= ,即| |= ,解得a=2,即AB的長為2
【解析】(Ⅰ)由題意及所給的圖形,可以A為原點, , , 的方向為X軸,Y軸,Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=a,給出圖形中各點的坐標(biāo),可求出向量 與 的坐標(biāo),驗證其數(shù)量積為0即可證出兩線段垂直.(II)由題意,可先假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量與直線DP的方向向量內(nèi)積為0,由此方程解出t的值,若能解出,則說明存在,若不存在符合條件的t的值,說明不存在這樣的點P滿足題意.(III)由題設(shè)條件,可求面夾二面角的兩個平面的法向量,利用兩平面的夾角為30°建立關(guān)于a的方程,解出a的值即可得出AB的長
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點;平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)全集U=R,集合A={x|1≤x<4},B={x|2a≤x<3-a}.
(1)若a=-2,求B∩A,B∩(UA);(2)若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從裝有2只紅球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同.
(Ⅰ)若抽取后又放回,抽3次.
(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率;
(ⅱ)求抽到紅球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望及方差.
(Ⅱ)若抽取后不放回,寫出抽完紅球所需次數(shù)的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C,直線(為參數(shù))
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程和直線l的普通方程;
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,AE⊥平面ABC,CD∥AE,F(xiàn)是BE的中點,AC=BC=1,∠ACB=90°,AE=2CD=2.
證明DF⊥平面ABE;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南宋時期的著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》中提出了秦九韶算法來計算多項式的值,在執(zhí)行如圖算法的程序框圖時,若輸入的n=5,x=2,則輸出V的值為( )
A.15
B.31
C.63
D.127
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=x3﹣3x+2+m(m>0),在區(qū)間[0,2]上存在三個不同的實數(shù)a,b,c,使得以f(a),f(b),f(c)為邊長的三角形是直角三角形,則m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣2ax,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)y=f(x)存在與直線2x﹣y=0垂直的切線,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)+ ,若g(x)有極大值點x1 , 求證: >a.
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