Question

【題目】某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米，且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．

①寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

②求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

Answer 1

【答案】①y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2②當(dāng)3<c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r＝2；當(dāng)c>時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)，r＝.

【解析】（1）由體積V=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c

=6πr×+4cπr2

=2π，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定義域?yàn)椋?/span>0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

=，0＜r≤2

由于c＞3，所以c﹣2＞0

當(dāng)r3﹣=0時(shí)，則r=

令=m，（m＞0）

所以y′=

①當(dāng)0＜m＜2即c＞時(shí)，

當(dāng)r=m時(shí)，y′=0

當(dāng)r∈（0，m）時(shí)，y′＜0

當(dāng)r∈（m，2）時(shí)，y′＞0

所以r=m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．

②當(dāng)m≥2即3＜c≤時(shí)，

當(dāng)r∈（0，2）時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)3＜c≤時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=2；

當(dāng)c＞時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=