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(2013•鎮(zhèn)江二模)已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,側面SAB是等邊三角形,側面SCD是以CD為斜邊的直角三角形,E為CD的中點,M為SB的中點.
(1)求證:CM∥平面SAE;
(2)求證:SE⊥平面SAB;
(3)求三棱錐S-AED的體積.
分析:(1)取SA的中點N,連接MN.△ASB中利用中位線定理,證出MN∥AB且MN=
1
2
AB,而正方形ABCD中E為CD中點,可得CE∥AB且CE=
1
2
AB,從而得到CENM為平行四邊形,得CM∥EN.最后用線面平行的判定定理,即可證出CM∥平面SAE;
(2)Rt△SCD中,E為斜邊中點,可得SE=
1
2
CD=1.△ESA中算出SE2+SA2=5=AE2,從而得到ES⊥SA,同理△ESB中證出ES⊥SB,結合SA、SB是平面SAB內的相交直線,可證出SE⊥平面SAB.
(3)根據正方形的性質可得S△AED=
1
2
S△ABE,從而得到VS-AED=
1
2
VS-AEB=
1
2
VE-SAB,由(2)得SE是三棱錐E-SAB的高,從而算出VE-SAB=
3
3
,由此即可得到VS-AED=
1
2
VE-SAB=
3
6
解答:解:(1)取SA的中點N,連接MN,
∵M為SB的中點,N為SA的中點,∴MN∥AB,且MN=
1
2
AB,
又E是CD的中點,∴CE∥AB,且CE=
1
2
AB,
∴MN∥CE,且MN=CE,∴四邊形CENM為平行四邊形,
∴CM∥EN,又EN?平面SAE,CM?平面SAE,
∴CM∥平面SAE.
(2)∵側面SCD為直角三角形,∠CSD=90°,E為CD的中點,
∴SE=
1
2
CD=1,
又∵SA=AB=2,AE=
5
,
∴SE2+SA2=5=AE2,可得ES⊥SA,同理可證ES⊥SB,
∵SA∩SB=S,SA、SB?平面SAB,∴SE⊥平面SAB.
(3)根據題意,得VS-AED=
1
2
VS-AEB=
1
2
VE-SAB,
∵SE⊥平面SAB,可得SE是三棱錐E-SAB的高
∴VE-SAB=
1
3
S△SAB×SE=
1
3
×
3
4
×4×1
=
3
3

因此,三棱錐S-AED的體積為VS-AED=
1
2
VE-SAB=
1
2
×
3
3
=
3
6
點評:本題在四棱錐中證明線面平行、線面垂直,并求三棱錐的體積.著重考查了空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識,屬于中檔題.
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