Question

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，設(shè)A，B分別為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O作直線交線段AB于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A，B），交橢圓于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點(diǎn)，直線OM的方程為y=

1

3

x，求橢圓的離心率；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求

S1

S2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出A，B的中點(diǎn)M，把M坐標(biāo)代入直線y=

x

3

得到a與b的關(guān)系，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出C和D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AB的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因?yàn)椤鰽BC和△ABD同底，所以把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最小值．

解答：解：（1）由題設(shè)，得A（a，0），B（0，b），則點(diǎn)M（

a

2

，

b

2

）．
因?yàn)辄c(diǎn)M在直線y=

x

3

上，所以

b

2

=

a 2

3

，則b=

a

3

．
從而c=

a2-b2

=

a2- a2 9

=

2 2 a

3

，
故橢圓的離心率e=

c

a

=

2 2

3

．
（2）設(shè)C（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則

x02

a2

+

y02

b2

=1，D（-x₀，-y₀）．
由題設(shè)，直線AB的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
因?yàn)辄c(diǎn)C在直線AB的上方，
所以點(diǎn)C到直線AB的距離hc=

|bx0+ay0-ab|

a2+b2

=

bx0+ay0-ab

a2+b2

．
同理可得點(diǎn)D到直線AB的距離hD=

|-bx0-ay0-ab|

a2+b2

=

|bx0+ay0+ab|

a2+b2

=

bx0+ay0+ab

a2+b2

．
因?yàn)?span id="sebuurh" class="MathJye">

x02

a2

+

y02

b2

=1，即b2x02+a2y02=a2b2，且bx₀＞0，ay₀＞0．
所以bx0+ay0≤2

b2x02+a2y02 2

=2

a2b2 2

=

2

ab．
當(dāng)且僅當(dāng)bx₀=ay₀時(shí)等號(hào)成立．
由

b2x02+a2y02=a2b2 bx0=ay0

，得

x0= 2 2 a y0= 2 2 b

．
因此，

S1

S2

=

hC

hD

=

bx0+ay0-ab

bx0+ay0+ab

=1-

2ab

bx0+ay0+ab

≤1-

2ab

2 ab+ab

=3-2

2

．
所以，當(dāng)

x0= 2 2 a y0= 2 2 b

時(shí)，

S1

S2

取得最大值，最大值為3-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，突出考查了數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用線性規(guī)劃的知識(shí)去掉點(diǎn)到直線的距離中的絕對(duì)值．屬難題．