Question

（2013•鎮(zhèn)江二模）已知數(shù)列{b_n}滿足b1=

1

2

，

1

bn

+bn-1=2(n≥2，n∈N*)．
（1）求b₂，b₃，猜想數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）設(shè)x=

b

n n

，y=

b

n+1 n

，比較x^x與y^y的大小．

Answer 1

分析：（1）由b₁=

1

2

，

1

bn

+b_n-1=2（n≥2，n∈N^*）可求b₂，b₃，從而可猜想數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可求得x^x與y^y，比較可知，二者相等．

解答：解：（1）∵b₁=

1

2

，

1

bn

+b_n-1=2（n≥2，n∈N^*），
∴

1

b2

=2-b₁=2-

1

2

=

3

2

，
∴b₂=

2

3

；
同理可求，b₃=

3

4

，于是猜想：b_n=

n

n+1

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，b₁=

1

2

，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，b_k=

k

k+1

，
則n=k+1時(shí)，∵

1

bk+1

+b_k=2，
∴

1

bk+1

=2-

k

k+1

=

k+2

k+1

，
∴b_k+1=

k+1

(k+1)+1

，
即n=k+1時(shí)結(jié)論也成立；
綜上所述，對(duì)任意n∈N^*，b_n=

n

n+1

均成立．
（2）∵x=

b

n n

=(

n

n+1

)n，y=

b

n+1 n

=(

n

n+1

)n+1，
∴x^x=[(

n

n+1

)n](

n

n+1

)n=(

n

n+1

)

nn+1

(n+1)n

，
y^y=[(

n

n+1

)n+1](

n

n+1

)n+1=(

n

n+1

)

nn+1

(n+1)n

，
∴x^x=y^y．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法，考查推理論證與綜合運(yùn)算能力，比較x^x與y^y的大小是難點(diǎn)，屬于難題．