【題目】已知F(0,1)為平面上一點(diǎn),H為直線ly=1上任意一點(diǎn),過點(diǎn)H作直線l的垂線m,設(shè)線段FH的中垂線與直線m交于點(diǎn)P,記點(diǎn)P的軌跡為Γ.

1)求軌跡Γ的方程;

2)過點(diǎn)F作互相垂直的直線ABCD,其中直線AB與軌跡Γ交于點(diǎn)AB,直線CD與軌跡Γ交于點(diǎn)CD,設(shè)點(diǎn)M,N分別是ABCD的中點(diǎn).

①問直線MN是否恒過定點(diǎn),如果經(jīng)過定點(diǎn),求出該定點(diǎn),否則說明理由;

②求△FMN的面積的最小值.

【答案】1.(2)①恒過定點(diǎn),定點(diǎn)為(03)②4

【解析】

1)設(shè)P的坐標(biāo),由題意可得|PF|=|PH|,整理可得P的軌跡方程;

2)①由題意可得直線BA,CD的斜率都存在,設(shè)直線AB的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和,進(jìn)而求出AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo),同理可得N的坐標(biāo),進(jìn)而求出直線MN的斜率,再求直線MN的方程,可得恒過定點(diǎn);

②因?yàn)橹本MN恒過定點(diǎn),所以得SFMN|xMxN|,由均值不等式可得△FMN的面積的最小值為4.

(1)設(shè)P的坐標(biāo)(xy)由題意可得|PF|=|PH|,

所以|y+1|,

整理可得x2=4y,

所以軌跡Γ的方程:x2=4y;

2)由題意可得直線AB,CD的斜率均存在,設(shè)直線AB的方程:y=kx+1A(x1,y1),B(x2,y2),

直線與拋物線聯(lián)立,整理可得:x24kx4=0,x1+x2=4ky1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,

所以AB的中點(diǎn)M(2k,2k2+1),

同理可得N(1),

所以直線MN的斜率為,

所以直線MN的方程為:y﹣(2k2+1)=(k)(x2k),

整理可得y=(k)x+3,所以恒過定點(diǎn)Q(0,3).

①所以直線恒過定點(diǎn)(0,3);

②從而可得SFMN|xMxN||2k|=2|k|≥4,當(dāng)時(shí)取得等號(hào).

所以△FMN的面積的最小值為4.

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成績(jī)

頻數(shù)

2

3

14

15

14

4

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