【題目】如圖所示,在四棱錐S ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形,

(1)求證:CD⊥平面SAD.

(2)若SA=SD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),在棱SC上是否存在點(diǎn)N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在,請說明其位置,并加以證明;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

(1) 先證明CD⊥AD,再證明CD⊥平面SAD;(2)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn),連接PC,DM交于點(diǎn)O,連接DN,PM,SP,NM,ND,NO,先證明NO⊥平面ABCD,即證平面DMN⊥平面ABCD.

(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以CD⊥AD.

又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,

所以CD⊥平面SAD.

(2)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn),使得平面DMN⊥平面ABCD.

證明如下:如圖,連接PC,DM交于點(diǎn)O,連接DN,PM,SP,NM,ND,NO,

因?yàn)镻D∥CM,且PD=CM,

所以四邊形PMCD為平行四邊形,

所以PO=CO.

又因?yàn)辄c(diǎn)N為SC的中點(diǎn),所以NO∥SP.

易知SP⊥AD,

因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,

所以SP⊥平面ABCD,

所以NO⊥平面ABCD.又因?yàn)镹O平面DMN,

所以平面DMN⊥平面ABCD.

練習(xí)冊系列答案
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A. 4 B. 6 C. 8 D. 32

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