Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓（如圖所示），則函數(shù)H（x）=|xe^x|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：求出函數(shù)f（x）=xe^x的導函數(shù)，由導函數(shù)等于0求出x的值，以求出的x的值為分界點把原函數(shù)的定義域分段，以表格的形式列出導函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號及原函數(shù)的增減性，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點，把極值點的坐標代入原函數(shù)求極值．然后判斷y=|xe^x|的極值與單調(diào)性，然后推出零點的個數(shù)．

解答： 解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=f（x），
∴函數(shù)是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于x=1對稱，
∵函數(shù)f（x）=xe^x的定義域為R，
f′（x）=（xe^x）′=x′e^x+x（e^x）′=e^x+xe^x
令f′（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x）=0，解得：x=-1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由表可知函數(shù)f（x）=xe^x的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）．
當x=-1時，函數(shù)f（x）=xe^x的極小值為f（-1）=-

1

e

，
y=|xe^x|，在x=-1時取得極大值：

1

e

，x∈（0，+∞）是增函數(shù)，
∴x＜0時，兩個函數(shù)圖象有3個交點，x＞0時，兩個函數(shù)圖象有1個交點．
兩個函數(shù)圖象共有4個交點．
即函數(shù)H（x）=|xe^x|-f（x）在區(qū)間[-3，1]上有4個零點．
故答案為：4

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，在求出導函數(shù)等于0的x值后，借助于表格分析能使解題思路更加清晰，此題是中檔題．