【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣a(x﹣1),其中a>0.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值0,求a的值;(提示:當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),lnx=x﹣1);
(Ⅱ)令F(x)=f(x)+a(x﹣1)+ (0<x≤3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x0 , y0)處切線的斜率k≤ 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)討論并求出函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)
當(dāng)x∈ 時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈ 時(shí),f'(x)<0
故函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,
因此函數(shù)f(x)在 (0,+∞)上有極大值
∴l(xiāng)na=a﹣1,解得a=1
(Ⅱ) ,于是有 在(0,3]上恒成立,所以 ,當(dāng)x0=1時(shí), 取最大值 ,所以 ;
(Ⅲ)∵
①若 ,即 ,則當(dāng) 時(shí),有f'(x)≥0,∴函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞增,則f(x)max=f(e)=1﹣ea+a.
②若 ,即 ,則函數(shù)f (x)在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,∴
③若 ,即a≥e,則當(dāng) 時(shí),有f'(x)≤0,函數(shù)f (x)在 上單調(diào)遞減,則
綜上得,當(dāng) 時(shí),f(x)max=1﹣ea+a;當(dāng) 時(shí),f(x)max=﹣lna﹣1+a;當(dāng)a≥e時(shí),
【解析】(Ⅰ)求f(x)的導(dǎo)數(shù),討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù),可得f(x)的單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)f(x)在(0,+∞)上有極大值0,即可求a的值;
(Ⅱ)切線的斜率即為函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),讓f′(x0)≤ 恒成立即可,再由不等式恒成立時(shí)所取的條件得到實(shí)數(shù)a范圍,即得實(shí)數(shù)a的最小值.
(Ⅲ)分類討論,利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的定義域,求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,e]上的最大值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減,以及對(duì)函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)滿足,,且點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)求過(guò)點(diǎn)的直線的方程;

(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于,點(diǎn)都在(1)中的直線上.

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【題目】已知函數(shù):f(x)=﹣x3﹣3x2+(1+a)x+b(a<0,b∈R).
(1)令h(x)=f(x﹣1)﹣b+a+3,判斷h(x)的奇偶性,并討論h(x)的單調(diào)性;
(2)若g(x)=|f(x)|,設(shè)M(a,b)為g(x)在[﹣2,0]的最大值,求M(a,b)的最小值.

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【題目】如圖,直棱柱ABC-中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn),=AC=CB=AB.

)證明://平面;

)求二面角D--E的正弦值.

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【題目】以下說(shuō)法正確的有( )
(1)y=x+ (x∈R)最小值為2;
(2)a2+b2≥2ab對(duì)a,b∈R恒成立;
(3)a>b>0且c>d>0,則必有ac>bd;
(4)命題“x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“x∈R,使得x2+x+1≥0”;
(5)實(shí)數(shù)x>y是 成立的充要條件;
(6)設(shè)p,q為簡(jiǎn)單命題,若“p∨q”為假命題,則“¬p∨¬q”也為假命題.
A.2個(gè)
B.3個(gè)
C.4個(gè)
D.5個(gè)

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【題目】若f(x)=x2+2 f(x)dx,則 f(x)dx=(
A.﹣1
B.﹣
C.
D.1

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【題目】某高校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求第3,4,5組的頻率;

(2)為了了解最優(yōu)秀學(xué)生的情況,該校決定在筆試成績(jī)高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3,4,5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試.

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【題目】已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的值域均為R,有以下命題:
①若對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=f(x)成立,則f(x)=x.
②若對(duì)于任意x∈R都有f[f(x)]=x成立,則f(x)=x.
③若存在唯一的實(shí)數(shù)a,使得f[g(a)]=a成立,且對(duì)于任意x∈R都有g(shù)[f(x)]=x2﹣x+1成立,則存在唯一實(shí)數(shù)x0 , 使得g(ax0)=1,f(x0)=a.
④若存在實(shí)數(shù)x0 , y0 , f[g(x0)]=x0 , 且g(x0)=g(y0),則x0=y0
其中是真命題的序號(hào)是 . (寫(xiě)出所有滿足條件的命題序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lgan,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值等于(  )

A. 126 B. 130 C. 132 D. 134

【答案】C

【解析】

由題意可知,lga3=b3,lga6=b6再由b3,b6,用a1q表示出a3b6,進(jìn)而求得qa1,根據(jù){an}為正項(xiàng)等比數(shù)列推知{bn}為等差數(shù)列,進(jìn)而得出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和,可知Sn的表達(dá)式為一元二次函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性進(jìn)而求得Sn的最大值.

由題意可知,lga3=b3,lga6=b6

∵b3=18,b6=12,則a1q2=1018,a1q5=1012,

∴q3=10﹣6

q=10﹣2,∴a1=1022

∵{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,

∴{bn}為等差數(shù)列,

d=﹣2,b1=22.

bn=22+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+24.

∴Sn=22n+×(﹣2)

=﹣n2+23n=,∵nN*,故n=1112時(shí),(Snmax=132.

故答案為:C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用;解決等差等比數(shù)列的小題時(shí),常見(jiàn)的思路是可以化基本量,解方程;利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)解決題目;還有就是如果題目中涉及到的項(xiàng)較多時(shí),可以觀察項(xiàng)和項(xiàng)之間的腳碼間的關(guān)系,也可以通過(guò)這個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

型】單選題
結(jié)束】
12

【題目】已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且對(duì),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A. B. C. D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案