Question

【題目】定義行列式的運(yùn)算如下：，已函數(shù)以下命題正確的是（ ）

①對(duì)，都有；②若，對(duì)，總存在非零常數(shù)了，使得；③若存在直線與的圖象無公共點(diǎn)，且使的圖案位于直線兩側(cè)，此直線即稱為函數(shù)的分界線.則的分界線的斜率的取值范圍是；④函數(shù)的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè).

A.①③④B.①②④

C.②③D.①④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)行列式的運(yùn)算定義可得，根據(jù)奇函數(shù)定義可判斷分段函數(shù)為奇函數(shù)，所以①正確；根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可知不是周期函數(shù)，所以不是周期函數(shù)，所以②錯(cuò)誤；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的過原點(diǎn)的切線的斜率，再根據(jù)的圖像的對(duì)稱性可得界線斜率的取值范圍應(yīng)為，故③錯(cuò)誤；根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)，，且，可知有無數(shù)個(gè)解，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，④正確.

由題知,

當(dāng)時(shí),,所以 ，同理時(shí)亦有，所以①正確；

又時(shí)，，，，為奇函數(shù)，知的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，則不存在周期性，故不是周期函數(shù)，所以②錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，由此直線過原點(diǎn)得，所以，結(jié)合②中在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，且時(shí)，，且，可得時(shí)，的分界線的斜率的取值范圍是，又為奇函數(shù)，可得時(shí)，的分界線的斜率的取值范圍是.所以分界線斜率的取值范圍應(yīng)為，故③錯(cuò)誤；

由上可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)，，且，所以有無數(shù)個(gè)解，所以函數(shù)的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，④正確.

故選：D.