Question

【題目】設(shè)函數(shù)（）.

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，試問(wèn)s是否為的根?說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）s不是的根，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分類(lèi)討論可得:①若時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增; ②若時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增; ③若時(shí)，當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)造新函數(shù),求解導(dǎo)函數(shù)可得,欲證，故只需證明., 由于,是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根,不妨設(shè)為,代入方程化簡(jiǎn)可得,故只需證明,化簡(jiǎn)為,構(gòu)造 ，，通過(guò)求導(dǎo)可知在單調(diào)遞增.又,因此即可證明不成立.

（1）由，可知.

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，

①若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

②若時(shí)，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

③若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）證明：由題可知（），

所以

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

欲證，故只需證明.

設(shè)，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為，

則

兩式相減并整理得，

從而，

故只需證明（*）

即.所以（*）式可化為，即

因?yàn)?/span>，所以，不妨令，即證，成立.

記，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

因此在單調(diào)遞增.又，因此，，故，，即不成立.

故s不是的根得證.