【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)時(shí),滿足.
(1)求證:;
(2)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)若,公差,問(wèn)是否存在,,使得?如果存在,求出所有滿足條件的,,如果不在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)存在,或.
【解析】
(1)已知條件是時(shí),,令可證結(jié)論;
(2)已知條件變形
,用累加的方法得,從而,把此式再寫一次:
當(dāng)時(shí),,兩式相減得:時(shí),,同時(shí)也適合此式,從而證明是等差數(shù)列;
(3)由求得,讓從2開(kāi)始一一檢驗(yàn),看是否有,當(dāng)然時(shí),有,.
(1)證明:∵時(shí),,
令得,,
∴.
(2)由
,
∴,
各式相加得,,
當(dāng)時(shí),,
由時(shí),,
而,,也滿足上式,∴為等差數(shù)列.
(3)∵,公差為,
∴,,,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),(舍),時(shí),(舍),
當(dāng)時(shí),(舍),時(shí),(舍),
當(dāng)時(shí),(舍),
當(dāng)時(shí),,
∴,(舍),
綜上或.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓的離心率是,過(guò)點(diǎn)做斜率為的直線,橢圓與直線交于兩點(diǎn),當(dāng)直線垂直于軸時(shí).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)變化時(shí),在軸上是否存在點(diǎn),使得是以為底的等腰三角形,若存在求出的取值范圍,若不存在說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知有窮數(shù)列,,,,.若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.對(duì)于數(shù)列,定義如下操作過(guò)程:從中任取兩項(xiàng),,將的值添在的最后,然后刪除,,這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列(約定:一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實(shí)施操作過(guò)程,得到的新數(shù)列記作,,如此經(jīng)過(guò)次操作后得到的新數(shù)列記作.
(1)設(shè),,請(qǐng)寫出的所有可能的結(jié)果;
(2)求證:對(duì)于一個(gè)項(xiàng)的數(shù)列操作總可以進(jìn)行次;
(3)設(shè),,,,,,,,,求的可能結(jié)果,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過(guò)連接管道流到下部容器,如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為8 cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為( )
A.2 cmB. cmC. cmD. cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)作一條不與坐標(biāo)軸平行的直線,若交橢圓與、兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有四座城市、、、,其中在的正東方向,且與相距,在的北偏東方向,且與相距;在的北偏東方向,且與相距,一架飛機(jī)從城市出發(fā)以的速度向城市飛行,飛行了,接到命令改變航向,飛向城市,此時(shí)飛機(jī)距離城市有( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中:
①已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>;
②若集合中只有一個(gè)元素,則;
③函數(shù)在上是增函數(shù);
④方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是1.
所有正確命題的序號(hào)是______(請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)、的定義域均為,若對(duì)任意,且,具有,則稱函數(shù)為上的單調(diào)非減函數(shù),給出以下命題:① 若關(guān)于點(diǎn)和直線()對(duì)稱,則為周期函數(shù),且是的一個(gè)周期;② 若是周期函數(shù),且關(guān)于直線對(duì)稱,則必關(guān)于無(wú)窮多條直線對(duì)稱;③ 若是單調(diào)非減函數(shù),且關(guān)于無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)中心對(duì)稱,則的圖象是一條直線;④ 若是單調(diào)非減函數(shù),且關(guān)于無(wú)窮多條平行于軸的直線對(duì)稱,則是常值函數(shù);以上命題中,所有真命題的序號(hào)是_________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形的邊長(zhǎng)為 的正方形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,分別是橢圓長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn).證明: 的定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問(wèn)軸上是否存在異于點(diǎn),的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過(guò)直線,的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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